Вопрос школьника
В треугольнике ABC известно, что ВС = 20 см, высота BD делит сторону АС на отрезки AD — 5 см и CD =16 см. Найдите сторону АВ.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойством высоты треугольника.
Обозначим сторону АВ через х. Тогда, по теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике АВD:
$AD^2 = AB^2 — BD^2$
Аналогично, в прямоугольном треугольнике ВСD:
$CD^2 = BC^2 — BD^2$
Так как высота BD делит сторону АС на отрезки AD — 5 см и CD =16 см, то:
$AD + CD = AC$
$AD + 16 = AC$
$AD = AC — 16$
$AD = AB + BD — 16$
$AB = AD — BD + 16$
Подставим эти выражения в первое уравнение:
$(AC — 16)^2 = (AD — BD + 16)^2 — BD^2$
$AC^2 — 32AC + 256 = AD^2 — 2ADBD + BD^2 + 256 — 32AD + 32BD$
$AC^2 — AD^2 + 2ADBD — BD^2 — 32AC + 32AD — 32BD = 0$
$AC^2 — AD^2 + 2BD(AD — BD — 16) — 32(AC — AD) = 0$
$AC^2 — AD^2 + 2BD(AB — 16) — 32(AC — AB + BD) = 0$
$AC^2 — AD^2 + 2BD(x — 16) — 32(AC — x + 20) = 0$
$AC^2 — (AC — 16)^2 + 2 cdot 20 cdot (x — 16) — 32(AC — x + 20) = 0$
$AC^2 — AC^2 + 32AC — 256 + 2x — 32 cdot 20 — 32AC + 32x — 32 cdot 20 = 0$
$34x — 736 = 0$
$x = frac{736}{34} approx 21.65$
Ответ: сторона АВ равна примерно 21.65 см.
