Вопрос школьника
В треугольнике ABC известны стороны АВ= 5, АС — = 7. На стороне АВ взята точка М так, что AM: MB =2:3, а на стороне А С — точка К, причём АК: КС= 2 : 5. В каком отношении биссектриса угла А делит отрезок МК?
Ответ от учителя
Для начала найдем третью сторону треугольника ABC, используя теорему косинусов:
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2AB*AC*cos(A)
где A — угол при вершине A. Подставляем известные значения:
BC^2 = 5^2 + 7^2 — 2*5*7*cos(A)
BC^2 = 74 — 70*cos(A)
Теперь найдем длины отрезков AM и MB:
AM/AB = 2/5, значит AM = 2/5 * AB = 2
MB/AB = 3/5, значит MB = 3/5 * AB = 3
Аналогично найдем длины отрезков AK и KC:
AK/AC = 2/7, значит AK = 2/7 * AC = 2
KC/AC = 5/7, значит KC = 5/7 * AC = 5
Теперь построим биссектрису угла A и обозначим точку ее пересечения с стороной МК как P. По определению биссектрисы:
AP/AB = CP/BC
AP/5 = CP/(74 — 70*cos(A))
AP = 5*CP/(74 — 70*cos(A))
Найдем длины отрезков MP и KP:
MP = AM + AP = 2 + 5*CP/(74 — 70*cos(A))
KP = KC + CP = 5 + CP
Осталось найти отношение MP/KP:
MP/KP = (2 + 5*CP/(74 — 70*cos(A))) / (5 + CP)
Для этого нужно найти значение CP. Для этого воспользуемся теоремой синусов в треугольнике ABC:
sin(A)/AC = sin(C)/BC
sin(A)/(74 — 70*cos(A)) = sin(C)/BC
sin(C) = BC*sin(A)/(74 — 70*cos(A))
sin(C) = 5*sin(A)/(74 — 70*cos(A))
Теперь воспользуемся теоремой синусов в треугольнике ACP:
CP/sin(C) = AP/sin(A/2)
CP = AP*sin(C)/sin(A/2)
CP = 5*CP*sin(A)/(2*sin(A/2)*(74 — 70*cos(A)))
CP = 5*sin(A/2)/(74 — 70*cos(A))
Подставляем найденное значение CP в выражение для MP/KP:
MP/KP = (2 + 5*5*sin(A/2)/(74 — 70*cos(A))) / (5 + 5*sin(A/2)/(74 — 70*cos(A)))
MP/KP = (10 + 25*sin(A/2)/(74 — 70*cos(A))) / (25 + 5*sin(A/2)/(74 — 70*cos(A)))
MP/KP = (2 + 5*sin(A/2)/(74 — 70*cos(A))) / (5 + sin(A/2)/(74 — 70*cos(A)))
Ответ: биссектриса угла А делит отрезок МК в отношении 2:5.
