Вопрос школьника
В треугольнике ABC медиана AM делит высоту ВН в отношении 3:1, считая от вершины В. В каком отношении высота ВН делит медиану AM
Ответ от учителя
Пусть точка H — основание высоты из вершины B, тогда по условию задачи:
BH = 3HN
Также известно, что медиана AM делит сторону BC пополам, то есть:
BM = MC
Рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, так как угол B равен 90 градусам. По теореме Пифагора:
AB^2 = AH^2 + BH^2
Так как AM — медиана, то AM = BM = MC. Значит, в треугольнике AMC также выполнена теорема Пифагора:
AC^2 = AM^2 + MC^2
Но так как BM = MC, то можно записать:
AC^2 = AM^2 + BM^2
Сложим последние два равенства:
AB^2 + AC^2 = AH^2 + BH^2 + AM^2 + BM^2
Заметим, что левая часть равенства — это длина стороны BC в квадрате, то есть:
AB^2 + AC^2 = BC^2
Подставим это в равенство выше:
BC^2 = AH^2 + BH^2 + AM^2 + BM^2
Так как BM = MC, то можно записать:
BC^2 = AH^2 + BH^2 + 2AM^2
Но мы знаем, что BH = 3HN, поэтому:
BC^2 = AH^2 + 9HN^2 + 2AM^2
Так как AM = BM = MC, то можно записать:
BC^2 = AH^2 + 9HN^2 + 2BM^2
Но мы знаем, что AB^2 = AH^2 + BH^2, поэтому:
BC^2 = AB^2 + 9HN^2 + 2BM^2
Теперь выразим BM через HN:
BM^2 = AM^2 — HN^2
Так как AM = 2BM, то:
AM^2 = 4BM^2 = 4AM^2 — 4HN^2
Тогда:
HN^2 = (3/4)AM^2
Подставим это в предыдущее равенство:
BC^2 = AB^2 + 9/4 AM^2 + 2BM^2
Но мы знаем, что BM^2 = (3/4)AM^2 — HN^2, поэтому:
BC^2 = AB^2 + 9/4 AM^2 + 2((3/4)AM^2 — HN^2)
Упростим:
BC^2 = AB^2 + 15/4 AM^2 — 2HN^2
Так как BH = 3HN, то:
BC^2 = AB^2 + 15/4 AM^2 — 2/9 BH^2
Теперь выразим BH через AM:
BH^2 = 9HN^2 = 9/4 AM^2
Подставим это в предыдущее равенство:
BC^2 = AB^2 + 15/4 AM^2 — 2/9 (9/4 AM^2)
Упростим:
BC^2 = AB^2 + 3/4 AM^2
Таким образом, высота ВН делит медиану AM в отношении 4:3.
