Вопрос школьника
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK_KM=4:1.Прямая AK пересекает сторону BC в точке P.Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM
Ответ от учителя
Пусть точка M делит сторону AC в отношении AM:MC = 1:1, тогда BM является медианой треугольника ABC. По условию задачи, BK:KM = 4:1, следовательно, AM:MK = 1:4.
Рассмотрим треугольник ABK. Пусть h — высота, опущенная на сторону AB, тогда площадь треугольника ABK равна S(ABK) = 0.5 * AB * h.
Так как AM:MK = 1:4, то AM = 4MK. По теореме Пифагора в треугольнике ABM:
AB^2 = AM^2 + BM^2
AB^2 = 16MK^2 + BM^2
BM^2 = AB^2 — 16MK^2
Так как BM является медианой треугольника ABC, то BM = 0.5 * sqrt(2AB^2 + 2AC^2 — BC^2). Подставляя это выражение для BM в предыдущее уравнение, получаем:
0.25 * (2AB^2 + 2AC^2 — BC^2) = AB^2 — 16MK^2
AB^2 + AC^2 — 0.5 * BC^2 = 64MK^2
AB^2 + AC^2 — BC^2 = 128MK^2
AB^2 + AC^2 — BC^2 = 128/25 * AB^2
3AC^2 — 3/25 * AB^2 = BC^2
Теперь рассмотрим четырехугольник KPCM. Пусть h1 и h2 — высоты, опущенные на стороны KP и PC соответственно, тогда площадь четырехугольника KPCM равна S(KPCM) = 0.5 * (KP + PC) * (h1 + h2).
Так как AK делит сторону BC в точке P, то по теореме Менелая в треугольнике ABC:
BP/PC * CK/KA * AP/AB = 1
BP/PC * CK/KA = AB/AP
BP/PC * CK/KA = 1 — BP/AP
BP/PC * CK/KA = (AP — BP)/AP
BP/PC * CK/KA = (AB — BP)/AB
BP/PC * CK/KA = (AB — BP)/(AB + AC)
BP/PC * CK/KA = (AB/AB + AC) — (BP/AB + AC)
BP/PC * CK/KA = 1/(1 + AC/AB) — BP/(AB + AC)
BP/PC * CK/KA = 1/(1 + 3/5) — BP/(AB + AC)
BP/PC * CK/KA = 5/8 — BP/(AB + AC)
BP/PC * CK/KA = (5AB — 8BP)/(8AB + 8AC)
CK/KA = (5AB — 8BP)/(8AB + 8AC) * PC/BP
Так как BK:KM = 4:1, то BK = 4MK. По теореме Пифагора в треугольнике BKP:
BP^2 = BK^2 + KP^2
BP^2 = 16MK^2 + KP^2
KP^2 = BP^2 — 16MK^2
Так как CK/KA = (5AB — 8BP)/(8AB + 8AC) * PC/BP, то
CK = (5AB — 8BP)/(8AB + 8AC) * PC * sqrt(BP^2 — 16MK^2)/BP
CK = (5AB — 8BP)/(8AB + 8AC) * PC * sqrt(AB^2 + AC^2 — BC^2/4)/BP
Аналогично, по теореме Пифагора в треугольнике CPC:
PC^2 = CP^2 + KP^2
PC^2 = CP^2 + BP^2 — 16MK^2
CP^2 = PC^2 — BP^2 + 16MK^2
Так как CK/KA = (5AB — 8BP)/(8AB + 8AC) * PC/BP, то
KA = CK/((5AB — 8BP)/(8AB + 8AC) * PC)
KA = BP * CK/((5AB — 8BP)/(8AB + 8AC) * PC) * sqrt(BP^2 — 16MK^2)/BP
KA = PC * CK/((5AB — 8BP)/(8AB + 8AC)) * sqrt(AB^2 + AC^2 — BC^2/4)/BP
Теперь можем выразить высоты h1 и h2 через CK и KA соответственно:
h1 = 2S(KCP)/KP = 2 * 0.5 * CK * PC/KP = CK * PC/sqrt(BP^2 — 16MK^2)
h2 = 2S(CPA)/AP = 2 * 0.5 * KA * AC/AP = KA * AC/sqrt(BP^2 — 16MK^2)
Таким образом, площадь четырехугольника KPCM равна:
S(KPCM) = 0.5 * (KP + PC) * (h1 + h2) = 0.5 * (BP + PC) * (CK * PC/sqrt(BP^2 — 16MK^2) + KA * AC/sqrt(BP^2 — 16MK^2))
S(KPCM) = 0.5 * (BP + PC) * (CK * PC + KA * AC)/sqrt(BP^2 — 16MK^2)
S(KPCM) = 0.5 * (BP + PC) * (5AB — 8BP)/(8AB + 8AC) * PC * sqrt(AB^2 + AC^2 — BC^2/4)/BP * PC/sqrt(BP^2 — 16MK^2) + 0.5 * (BP + PC) * PC * AC/sqrt(BP^2 — 16MK^2)
S(KPCM) = 0.5 * (5AB — 8BP)/(8AB + 8AC) * PC * sqrt(AB^2 + AC^2 — BC^2/4) + 0.5 * PC * AC
Теперь можем выразить отношение площадей треугольника ABK и четырехугольника KPCM:
S(ABK)/S(KPCM) = (0.5 * AB * h)/(0.5 * (5AB — 8BP)/(8AB + 8AC) * PC * sqrt(AB^2 + AC^2 — BC^2/4) + 0.5 * PC * AC)
S(ABK)/S(KPCM) = AB * h/((5AB — 8BP)/(8AB + 8AC) * PC * sqrt(AB^2 + AC^2 — BC^2/4) + AC * PC)
S(ABK)/S(KPCM) = AB * h/(5AB * PC — 8BP * PC + 8AC * PC + AC * PC * sqrt(AB^2 + AC^2 — BC^2/4))
S(ABK)/S(KPCM) = AB * h/(5AB * PC + 8AC * PC — 8BP * PC + AC * PC * sqrt(AB^2 + AC^2 — BC^2/4))
S(ABK)/S(KPCM) = AB * h/(5AB * PC + 8AC * PC — 8BP * PC + AC * PC * sqrt(3AC^2 — 3/25 * AB^2))
S(ABK)/S(KPCM) = AB * h/(5AB * PC + 8AC * PC — 8BP * PC + AC * PC * sqrt(3(AB^2 + AC^2 — BC^2/4) — AB^2))
S(ABK)/S(KPCM) = AB * h/(5AB * PC + 8AC * PC — 8BP * PC + AC * PC * sqrt(11AB^2 + 11AC^2 — 13BC^2)/4)
Таким образом, отношение площадей треугольника ABK и четырехугольника KPCM зависит от длин сторон треугольника ABC и отношения BK:KM.
