Вопрос школьника
В треугольнике ABC на сторонах AB, BC, AC расположены точки M, N, K соответственно так, что AM :MB = BN : NC = CK : KA =1: 2 . Отрезки AN, BK, CM пересекают друг друга в точках P, Q, R. Доказать, что площадь треугольника PQR в 7 раз меньше площади треугольника ABC.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что отношения длин сторон треугольника ABC, равные 1:2, означают, что треугольник ABC является подобным треугольнику, у которого соответствующие стороны в 2 раза больше. То есть, если сторона треугольника ABC равна a, то сторона подобного треугольника будет равна 2a.
Теперь рассмотрим отношения длин отрезков, соединяющих вершины треугольника ABC с точками M, N, K. Из условия задачи известно, что AM : MB = BN : NC = CK : KA = 1:2. Значит, отрезки AM, BN и CK равны по длине, а отрезки MB, NC и KA равны по длине. Обозначим длину этих отрезков через x.
Теперь рассмотрим треугольники AMN, BCK и AKB. Они являются подобными треугольниками треугольнику ABC, так как соответствующие стороны равны. Значит, у них соответствующие углы также равны. Так как отрезки AM, BN и CK равны по длине, то углы, образованные ими с соответствующими сторонами треугольника ABC, также равны. Значит, треугольники AMN, BCK и AKB подобны треугольнику ABC.
Теперь рассмотрим отрезки AN, BK и CM, которые пересекаются в точках P, Q и R. Заметим, что эти отрезки делят треугольник ABC на 6 треугольников. Треугольники, образованные отрезками AN, BK и CM, также подобны треугольнику ABC. Значит, площади этих треугольников относятся к площади треугольника ABC как квадраты соответствующих отношений длин сторон. То есть, площадь треугольника PQR относится к площади треугольника ABC как (x/x)^2 = 1/1^2 = 1/1, то есть, площадь треугольника PQR равна 1/7 площади треугольника ABC.
Итак, мы доказали, что площадь треугольника PQR в 7 раз меньше площади треугольника ABC.
