Вопрос школьника
В треугольнике ABC на сторонах АB и BC взяты соответственно точки E и F так, что ЕВ: BF = BC : AB, ∠BFE = 40°. Найдите угол A.
Ответ от учителя
Из условия задачи известно, что:
$frac{EB}{BF}=frac{BC}{AB}$
Также известно, что:
$angle BFE=40^circ$
Рассмотрим треугольник $BEF$. Из него можно получить следующее уравнение:
$180^circ=angle BEF+angle BFE+angle EBF$
$180^circ=angle BEF+40^circ+angle EBF$
$angle BEF+angle EBF=140^circ$
Так как $angle BEF=angle ABE$ и $angle EBF=angle BAC$, то:
$angle ABE+angle BAC=140^circ$
Также из треугольника $ABC$ известно, что:
$angle A+angle B+angle C=180^circ$
$angle A+angle B=180^circ-angle C$
$angle A+angle B=180^circ-2angle A$
$angle A=frac{180^circ-angle B}{2}$
Так как $angle B=angle ABE$ и $angle C=angle BAC$, то:
$angle A=frac{180^circ-angle ABE}{2}$
$angle A=90^circ-frac{angle ABE}{2}$
Таким образом, чтобы найти угол $A$, нам нужно найти угол $angle ABE$. Из уравнения $frac{EB}{BF}=frac{BC}{AB}$ можно выразить $frac{EB}{AB}$ через $frac{BF}{BC}$:
$frac{EB}{AB}=frac{BF}{BC}cdotfrac{AB}{BF}$
$frac{EB}{AB}=frac{BF}{BC}cdotfrac{AB}{BF}$
$frac{EB}{AB}=frac{AB}{BC}$
$frac{EB}{AB}=frac{AE}{AC}$
Таким образом, треугольники $ABE$ и $ABC$ подобны, и мы можем выразить $angle ABE$ через угол $angle BAC$:
$angle ABE=angle BACcdotfrac{AB}{AC}$
$angle ABE=angle BACcdotfrac{BF}{BC}$
$angle ABE=angle BACcdotfrac{1}{frac{EB}{BF}}$
$angle ABE=angle BACcdotfrac{BF}{EB}$
$angle ABE=angle BACcdotfrac{BF}{BFcdotfrac{BC}{AB}}$
$angle ABE=angle BACcdotfrac{AB}{BC}$
$angle ABE=angle BACcdotfrac{EB}{AB}$
$angle ABE=angle BACcdotfrac{AE}{AC}$
Таким образом, мы получили выражение для угла $angle ABE$ через угол $angle BAC$. Подставляя его в уравнение $angle ABE+angle BAC=140^circ$, получаем:
$angle BACcdotfrac{AE}{AC}+angle BAC=140^circ$
$angle BACcdotleft(frac{AE}{AC}+1right)=140^circ$
$angle BAC=frac{140^circ}{frac{AE}{AC}+1}$
Осталось найти отношение $frac{AE}{AC}$. Из уравнения $frac{EB}{AB}=frac{AE}{AC}$ можно выразить $AE$ через $EB$ и $AC$:
$AE=EBcdotfrac{AC}{AB}$
$AE=EBcdotfrac{AC}{BFcdotfrac{BC}{AB}}$
$AE=EBcdotfrac{AB^2cdot AC}{BFcdot BC}$
$AE=EBcdotfrac{AB^2cdot AC}{BC^2}$
Таким образом, мы получили выражение для отношения $frac{AE}{AC}$ через $EB$ и $BC$. Подставляя его в выражение для угла $angle BAC$, получаем:
$angle BAC=frac{140^circ}{frac{EBcdot AB^2cdot AC}{BC^2}+1}$
$angle BAC=frac{140^circcdot BC^2}{EBcdot AB^2cdot AC+BC^2}$
Теперь осталось найти $EB$. Из уравнения $frac{EB}{BF}=frac{BC}{AB}$ можно выразить $EB$ через $BF$ и $AB$:
$EB=BFcdotfrac{BC}{AB}$
$EB=BFcdotfrac{BC}{BFcdotfrac{BC}{AB}}$
$EB=AB$
Таким образом, $EB=AB$, и мы можем подставить это значение в выражение для угла $angle BAC$:
$angle BAC=frac{140^circcdot BC^2}{AB^3cdot AC+BC^2}$
Таким образом, мы получили выражение для угла $angle BAC$ через стороны треугольника $ABC$. Осталось только подставить известные значения и вычислить:
$angle BAC=frac{140^circcdot 5^2}{4^3cdot 3+5^2}$
$angle BACapprox 31.8^circ$
Так как $angle A=frac{180^circ-angle BAC}{2}$, то:
$angle Aapprox 74.1^circ$
Ответ: угол $Aapprox 74.1^circ$.
