Вопрос школьника
В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D, такая, что BD_BA=1:3. Плоскость, параллельная прямой AC и проходящая через точку D, пересекает отрезок BC в точке D1. Докажите, что треугольник DBD1 подобен треугольнику ABC
Ответ от учителя
Для доказательства подобия треугольников DBD1 и ABC необходимо показать, что у них соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
Рассмотрим углы треугольника ABC. Угол BAC является общим для треугольников DBD1 и ABC, так как прямая, проходящая через точку D, параллельна прямой AC. Также угол BDC1 является вертикальным углом для угла ABC, поэтому он равен углу ABC. Осталось показать, что угол BDD1 равен углу BAC.
Рассмотрим треугольник ABD. Так как BD_BA=1:3, то можно записать, что BD=AB/4 и AD=3AB/4. Рассмотрим прямую, проходящую через точки D и D1. Она параллельна прямой AC, поэтому угол BDD1 равен углу BAD. Также можно записать, что BD1=BC/4 и CD1=3BC/4. Рассмотрим треугольник BCD1. Так как угол BDC1 равен углу ABC, то угол BCD1 равен углу ABD. Таким образом, угол BDD1 равен углу BAD, который равен углу BAC.
Теперь рассмотрим соответствующие стороны треугольников DBD1 и ABC. Сторона BD соответствует стороне AB, так как BD_BA=1:3. Сторона BD1 соответствует стороне BC, так как прямая, проходящая через точки D и D1, параллельна прямой AC. Таким образом, стороны треугольников DBD1 и ABC пропорциональны.
Итак, мы показали, что углы треугольников DBD1 и ABC равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Значит, треугольники подобны.
