Вопрос школьника
В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 67. Найдите площадь четырёхугольника ABMN
Ответ от учителя
Чтобы найти площадь четырёхугольника ABMN, нужно сложить площади треугольников ABM и ANB.
Так как M и N — середины сторон, то AM = MB и AN = NC. Значит, треугольники ABM и ANB равны по двум сторонам и углу между ними (угол BAN равен углу ABM, так как это вертикальные углы). Значит, эти треугольники равны.
Таким образом, площадь четырёхугольника ABMN равна удвоенной площади треугольника ABM.
Пусть S — площадь треугольника ABM. Тогда:
S = (1/2) * AB * BM (по формуле площади треугольника)
S = (1/2) * AB * (1/2 * BC) (так как M — середина BC)
S = (1/4) * AB * BC
Также из треугольника ACN можно найти площадь треугольника CNM:
67 = (1/2) * AC * CN
67 = (1/2) * AC * (1/2 * AB)
67 = (1/4) * AB * AC
Теперь можно выразить AB через BC и AC:
AB = 4 * 67 / AC
И подставить в формулу для S:
S = (1/4) * AB * BC
S = (1/4) * (4 * 67 / AC) * BC
S = 67 * BC / AC
Таким образом, площадь четырёхугольника ABMN равна 67 * BC / AC.
