Вопрос школьника
В треугольнике ABC отметили точку М так, что площади треугольников АМВ, ВМС и АМС равны. Докажите, что М — точка пересечения медиан треугольника ABC.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точка М лежит внутри треугольника ABC, так как площадь каждого из треугольников АМВ, ВМС и АМС положительна.
Пусть М1, М2 и М3 — середины сторон AB, BC и AC соответственно. Тогда площади треугольников АМ1С, ВМ2А и СМ3В равны между собой, так как каждый из этих треугольников равен половине площади треугольника ABC.
Рассмотрим теперь треугольник АМС. Пусть h1, h2 и h3 — высоты этого треугольника, опущенные на стороны BC, AC и AB соответственно. Тогда площадь треугольника АМС равна S = (1/2)h1·AC = (1/2)h2·AB = (1/2)h3·BC.
Заметим, что высоты h1, h2 и h3 являются медианами треугольника ABC, так как каждая из них делит соответствующую сторону пополам. Поэтому мы можем записать:
h1 = (2/3)М1М3, h2 = (2/3)М2М1, h3 = (2/3)М3М2.
Подставляя эти выражения в равенство для площади треугольника АМС, получаем:
S = (1/2)(2/3)М1М3·AC = (1/2)(2/3)М2М1·AB = (1/2)(2/3)М3М2·BC.
Отсюда следует, что М1М3·AC = М2М1·AB = М3М2·BC. Это означает, что точки М1, М2 и М3 лежат на одной прямой, то есть М — точка пересечения медиан треугольника ABC.
