Вопрос школьника
В треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса. Через точку D проведена прямая, которая параллельна стороне АС и пересекает сторону АВ в точке Е. Через точку Е проведена прямая, которая параллельна стороне ВС и пересекает сторону АС в точке F. Докажите, что АЕ = CF.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства АЕ = CF нужно воспользоваться теоремой о параллельных прямых, которая гласит: если две прямые параллельны, то соответственные углы равны.
Обозначим угол BAC как α. Так как AD — биссектриса, то угол BAD равен углу CAD, то есть они равны α/2. Также из параллельности прямых DE и AC следует, что угол AED равен углу CAD, то есть α/2. Аналогично, из параллельности прямых EF и BC следует, что угол CFE равен углу BCF, то есть α/2.
Таким образом, получаем, что угол AED равен углу CFE, а угол EAD равен углу FCE. Так как углы при основании равны, то треугольники AED и CFE подобны. Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть:
AE/CF = AD/CD
Но так как AD — биссектриса, то AD/CD = AB/CB. Подставляем это в предыдущее равенство:
AE/CF = AB/CB
Домножаем обе части на CB:
AE = CF
Таким образом, мы доказали, что АЕ = CF.
