Вопрос школьника
В треугольнике ABC отрезок ОТ — средняя линия, ∠А= ∠С.
а) Докажите, что треугольник СОТ равнобедренный.
б) Найдите периметр треугольника СОТ, если периметр треугольника ABC равен 18 см.
Ответ от учителя
а) Средняя линия в треугольнике делит сторону, на которой лежит, пополам и параллельна ей. Значит, отрезок ОТ делит сторону AC пополам и параллелен ей. Также, по условию, ∠А= ∠С. Значит, стороны AB и BC равны, а значит, ∠А= ∠В. Тогда треугольник АВС равнобедренный, и медиана ОТ является высотой, опущенной на основание СТ. Значит, треугольник СОТ равнобедренный.
б) Пусть AB=BC=x, AC=2x (так как ОТ делит сторону AC пополам). Тогда, по теореме косинусов в треугольнике АВС:
$$x^2=x^2+4R^2-4xRcosangle BAC$$
где R — радиус описанной окружности треугольника АВС. Так как ∠А= ∠С, то R — радиус описанной окружности треугольника АСВ равен R. Тогда:
$$x^2=x^2+4R^2-4xRcosangle BAC=x^2+4R^2-4xRcosangle BAC$$
$$cosangle BAC=frac{1}{2}$$
Так как треугольник СОТ равнобедренный, то ST=OT=x. Тогда периметр треугольника СОТ равен 2x+2x+x=5x. Значит, чтобы найти периметр треугольника СОТ, нужно найти значение x. Из уравнения выше получаем:
$$cosangle BAC=frac{1}{2}$$
$$angle BAC=60^circ$$
Тогда, по теореме синусов в треугольнике АВС:
$$frac{x}{sin60^circ}=frac{2x}{sin120^circ}$$
$$sin120^circ=sin(180^circ-60^circ)=sin60^circ$$
$$x=frac{2x}{sqrt{3}}$$
$$x=frac{2}{sqrt{3}}x$$
$$x=frac{2}{sqrt{3}}cdotfrac{18}{3}=4sqrt{3}$$
Тогда периметр треугольника СОТ равен 5x=20$sqrt{3}$ см.
