Вопрос школьника
В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Докажите, что если
∠BDC — тупой то середина стороны АС принадлежит лучу DC.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами биссектрисы треугольника.
По определению биссектрисы, точка D делит сторону AC на две части, пропорциональные соответствующим прилежащим сторонам треугольника. То есть, если AB и BC — прилежащие стороны треугольника, то:
AD/DC = AB/BC
Также известно, что угол BDC является тупым. Это означает, что угол BDA (смежный с углом BDC) является острым.
Теперь рассмотрим треугольник ABD. В нем угол BDA острый, а угол BAD равен половине угла BAC (по свойству биссектрисы). Значит, угол ABD также острый.
Таким образом, мы получили, что угол ABD острый, а угол BDC тупой. Значит, угол ABC острый.
Теперь рассмотрим треугольник BDC. В нем угол BDC тупой, а угол CBD равен половине угла ABC (по свойству биссектрисы). Значит, угол BCD острый.
Таким образом, мы получили, что угол BCD острый, а угол BDC тупой. Значит, точка D находится между точками B и C на отрезке DC.
Но мы также знаем, что точка D лежит на биссектрисе угла ABC. Значит, она находится на пересечении биссектрисы и отрезка DC.
Таким образом, мы доказали, что середина стороны AC лежит на луче DC, если угол BDC является тупым.
