Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — В треугольнике ABC проведена биссектриса CD, Найдите координаты точки D, если А(3; 2), В(12; 6), С(6; -2).
Ответ от учителя
Для начала найдем угол BAC, используя формулу косинусов:
cos(A) = (b^2 + c^2 — a^2) / 2bc
где a, b, c — стороны треугольника, противолежащие углам A, B, C соответственно.
a = BC = sqrt((6-12)^2 + (-2-6)^2) = 8
b = AC = sqrt((3-6)^2 + (2+2)^2) = sqrt(14)
c = AB = sqrt((12-3)^2 + (6-2)^2) = sqrt(145)
cos(A) = (sqrt(14)^2 + sqrt(145)^2 — 8^2) / (2 * sqrt(14) * sqrt(145)) ≈ 0.874
A = arccos(0.874) ≈ 29.2°
Так как CD — биссектриса угла BAC, то угол BCD равен углу ACD, то есть:
BCD = ACD = (180 — A) / 2 ≈ 75.4°
Теперь найдем координаты точки D. Для этого воспользуемся формулами для нахождения точки пересечения двух прямых:
x = (b1*y2 — b2*y1) / (a1*b2 — a2*b1)
y = (a2*x1 — a1*x2) / (a1*b2 — a2*b1)
где (a1, b1) и (a2, b2) — коэффициенты уравнений прямых.
Прямая AC задается уравнением:
y — 2 = (6 — 2) / (12 — 3) * (x — 3)
y — 2 = 4/9 * (x — 3)
4x — 9y + 22 = 0
Прямая BD задается уравнением:
y — yd = (6 — yd) / (12 — xd — 6) * (x — 12)
y — yd = (6 — yd) / 6 * (x — 12)
6y — 6yd = (6 — yd) * (x — 12)
6y — 6yd = 6x — xd — 72 — yd*x + 12*yd
xd + yd*x — 6y + 18*yd = 78
Так как точка D лежит на биссектрисе угла BAC, то отрезки BD и CD должны быть равны. Обозначим точку пересечения прямых BD и CD через E. Тогда:
BE = ED
Следовательно, координаты точки E можно найти как среднее арифметическое координат точек B и D:
xe = (xb + xd) / 2
ye = (yb + yd) / 2
Таким образом, нам нужно решить систему уравнений:
4x — 9y + 22 = 0
xd + yd*x — 6y + 18*yd = 78
xe = (xb + xd) / 2
ye = (yb + yd) / 2
Подставим координаты точек A, B и C в первые два уравнения и решим систему методом Гаусса:
4x — 9y + 22 = 0
6x — y — 30 = 0
x = 3
y = 18
Таким образом, точка D имеет координаты (3, 18).
