Вопрос школьника
В треугольнике ABC проведена медиана BM, точка F — ее середина. Прямая CF пересекает сторону AB в точке K. Площадь четырехугольника AKFM равна 50 см2. Найдите площадь треугольника ABC
Ответ от учителя
Пусть точка E — середина стороны AC треугольника ABC. Так как медиана BM делит сторону AC пополам, то точки E и F совпадают. Также известно, что медиана BM делит треугольник на два равных треугольника ABM и BCM.
Площадь четырехугольника AKFM можно выразить через площади треугольников AKC и KFM:
S(AKFM) = S(AKC) + S(KFM)
Так как точка F является серединой медианы BM, то отношение площадей треугольников ABM и BCM равно 1:1. Таким образом, площадь треугольника ABM равна половине площади треугольника ABC:
S(ABM) = 0.5*S(ABC)
Также из треугольника ABM можно выразить площадь треугольника AKC:
S(AKC) = S(ABM) — S(AKB)
где S(AKB) — площадь треугольника AKB.
Из условия задачи известна площадь четырехугольника AKFM:
S(AKFM) = 50 см2
Таким образом, мы можем выразить площадь треугольника ABC через площадь треугольника ABM и площадь треугольника AKB:
S(ABC) = 2*S(ABM) + S(AKB)
Заметим, что треугольник AKB и треугольник BMC подобны, так как угол BKM является общим, а углы BAK и BCM равны, так как это соответственные углы при параллельных прямых AB и MC. Таким образом, отношение сторон треугольников AKB и BMC равно отношению медиан, проведенных к этим сторонам:
AK/BK = CM/BM
Так как точка F является серединой медианы BM, то BM = 2*FM. Также из треугольника ABM следует, что BK = AB/2 и FM = AB/4. Таким образом, получаем:
AK/AB = CM/2*FM
AK/AB = CM/AB/2
AK = CM/2
Таким образом, мы получили, что AK является половиной стороны AC. Аналогично, можно показать, что BK является половиной стороны BC. Таким образом, точка K является серединой стороны AB.
Из этого следует, что площадь треугольника AKB равна половине площади треугольника ABC:
S(AKB) = 0.5*S(ABC)
Таким образом, мы можем выразить площадь треугольника ABC через площадь четырехугольника AKFM:
S(ABC) = 4*S(AKFM)
S(ABC) = 4*50 см2
S(ABC) = 200 см2
Ответ: площадь треугольника ABC равна 200 см2.
