Вопрос школьника
В треугольнике ABC проведена высота ВН. Докажите, что если: а) угол А острый, то ВС2 = АВ2 + АС2 — 2АС x АН; б) угол А тупой, то ВС2 = АВ2 + АС2 + 2АС x АН.
Ответ от учителя
а) Пусть угол А острый. Тогда точка H лежит между точками B и C. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора имеем: AB² = AH² + BH². Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора имеем: AC² = AH² + CH². Вычтем из второго уравнения первое: AC² — AB² = CH² — BH². Заметим, что левая часть равенства равна 2AC x AN (по теореме о высоте), а правая часть равна (CH + BH) x (CH — BH) = 2AC x (CH — BH). Таким образом, получаем: 2AC x AN = 2AC x (CH — BH), откуда CH — BH = AN. Возводя это равенство в квадрат, получаем: CH² — 2CH x BH + BH² = AN². Подставляем в это равенство выражение для AC² — AH², получаем: AC² — AB² — 2CH x BH = AN². Переносим AB² на другую сторону и получаем: BC² = AC² — AB² + 2CH x BH = AB² + AC² — 2AC x AN. Это и требовалось доказать.
б) Пусть угол А тупой. Тогда точка H лежит за точкой C. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора имеем: AB² = AH² + BH². Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора имеем: AC² = AH² + CH². Сложим эти уравнения: AB² + AC² = 2AH² + BH² + CH². Заметим, что левая часть равенства равна 2AC x AN (по теореме о высоте), а правая часть равна 2AH² + 2AH x HC. Таким образом, получаем: 2AC x AN = 2AH² + 2AH x HC. Делим обе части на 2AH и получаем: AC x AN = AH + HC. Возводим это равенство в квадрат и получаем: AC² x AN² = AH² + 2AH x HC + HC². Подставляем в это равенство выражение для AB² + AC² и получаем: BC² = AB² + AC² + 2AC x AN. Это и требовалось доказать.
