Вопрос школьника
В треугольнике ABC проведены медианы АА1 и ВВ1, которые пересекаются в точке М. В треугольнике АМВ проведена средняя линия PQ || АВ. Докажите, что четырёхугольник A1B1PQ — параллелограмм.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что четырёхугольник A1B1PQ является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны параллельны и равны.
Рассмотрим треугольник АМВ. Так как PQ || АВ, то по свойству средней линии PQ = 1/2(АВ). Также известно, что медиана АА1 делит сторону ВС пополам, то есть АС = СА1. Аналогично, медиана ВВ1 делит сторону АС пополам, то есть ВС = СВ1.
Таким образом, мы можем записать:
АС + ВС = СА1 + СВ1
СА1 — АВ/2 = СВ1 — АВ/2
СА1 = СВ1
Это означает, что медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке С, которая является серединой стороны АВ треугольника ABC.
Теперь рассмотрим четырёхугольник A1B1PQ. Так как PQ || АВ, то углы A1PQ и B1QP являются соответственными углами при параллельных прямых, и следовательно, они равны. Аналогично, углы A1QP и B1PQ также равны.
Также мы знаем, что медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке М, которая является серединой стороны АВ. Это означает, что АМ = МВ.
Теперь рассмотрим отрезки A1P и B1Q. Так как PQ || АВ, то угол A1PQ равен углу АВQ (они соответственные при параллельных прямых). Аналогично, угол B1QP равен углу B1PV.
Таким образом, мы можем записать:
угол A1PQ = угол АВQ
угол B1QP = угол B1PV
АМ = МВ
Из этих равенств следует, что треугольники АМQ и ВМР равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне МВ, углу A1PQ и углу B1QP). Следовательно, угол АМQ равен углу ВМР.
Так как углы A1PQ и B1QP равны, то углы A1PM и B1QM также равны. Из этого следует, что углы A1PM и B1QM являются дополнительными к углам АМQ и ВМР соответственно.
Таким образом, мы получили, что углы A1PM и B1QM равны и дополнительны к соответствующим углам АМQ и ВМР. Это означает, что четырёхугольник A1B1PQ является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны и равны.
