Вопрос школьника
В треугольнике ABC с прямым углом С (рис. 352) АВ = 9, ВС = 5. Точка М делит АВ в отношении 1 : 2 считая от A. Найдите СМ.
Ответ от учителя
Рисунок к ответу:
«`
B
/|
/ |
/ | 5
/ |
/ |
A——C
| 2 |
| |
| |
M——|
| 1 |
«`
Пусть $AM = 2x$, тогда $MB = AB — AM = 9 — 2x$. Так как $CM$ является медианой треугольника $ABC$, то $CM$ делит сторону $AB$ пополам, то есть $CM = MB = 9 — 2x$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACB$. По теореме Пифагора $AB^2 = AC^2 + BC^2$, откуда $9^2 = AC^2 + 5^2$, то есть $AC = sqrt{9^2 — 5^2} = 4sqrt{5}$.
Так как $CM$ является медианой треугольника $ABC$, то она делит гипотенузу $AC$ пополам, то есть $CM = frac{1}{2}AC = 2sqrt{5}$.
Итак, мы нашли, что $CM = 9 — 2x$ и $CM = 2sqrt{5}$. Отсюда получаем уравнение $9 — 2x = 2sqrt{5}$, которое решаем относительно $x$:
$$
9 — 2x = 2sqrt{5} quad Rightarrow quad x = frac{9 — 2sqrt{5}}{2}.
$$
Теперь можем найти $CM$:
$$
CM = 9 — 2x = 9 — 2cdotfrac{9 — 2sqrt{5}}{2} = 2sqrt{5}.
$$
Итак, ответ: $CM = 2sqrt{5}$.
