Вопрос школьника
В треугольнике ABC сторона AB=32, AC=64, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD
Ответ от учителя
Для начала найдем длину стороны BC треугольника ABC, используя теорему косинусов:
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2AB*AC*cos(∠BAC)
∠BAC = 180° — ∠ABC — ∠ACB (сумма углов треугольника равна 180°)
∠ABC = arcsin(AB/2R) (где R — радиус описанной окружности)
∠ACB = arcsin(AC/2R)
Подставляем значения:
BC^2 = 32^2 + 64^2 — 2*32*64*cos(arcsin(32/2R) + arcsin(64/2R))
BC^2 = 32^2 + 64^2 — 2*32*64*sin(90° — ∠ABC)*sin(90° — ∠ACB)
BC^2 = 32^2 + 64^2 — 2*32*64*(cos(∠ABC)*cos(∠ACB) + sin(∠ABC)*sin(∠ACB))
BC^2 = 32^2 + 64^2 — 2*32*64*(32/2R)*(64/2R)
BC^2 = 32^2 + 64^2 — 32*64
BC^2 = 1024
BC = 32
Теперь найдем точку D. Заметим, что ∠ABD = 90° (так как BD перпендикулярна AO), а ∠OAB = ∠OBA (так как OA = OB — радиус описанной окружности). Значит, треугольник ABD — прямоугольный, и мы можем использовать теорему Пифагора:
AD^2 + BD^2 = AB^2
AD^2 + (AO — OD)^2 = AB^2
AD^2 + R^2 — 2R*OD + OD^2 = AB^2
AD^2 + OD^2 = AB^2 — R^2 + 2R*OD
AD^2 + OD^2 = 32^2 — R^2 + 2R*OD
Так как OD = CD, то
AD^2 + CD^2 = 32^2 — R^2 + 2R*CD
Нам нужно найти CD, поэтому выразим его из этого уравнения:
CD^2 — 2R*CD + (AD^2 — R^2 + 32^2) = 0
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
CD = (2R ± √(4R^2 — 4(AD^2 — R^2 + 32^2))) / 2
CD = R ± √(R^2 — AD^2 + R^2 — 32^2)
Осталось найти R и AD. Для этого воспользуемся формулой для нахождения радиуса описанной окружности:
R = (abc) / (4S), где a, b, c — стороны треугольника, S — его площадь
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p — полупериметр треугольника
Найдем сначала площадь треугольника ABC:
p = (32 + 64 + BC) / 2 = 60
S = √(60(60-32)(60-64)(60-BC)) = √(60*28*4*28) = 336
Теперь найдем радиус описанной окружности:
R = (32*64*BC) / (4*336) = 256 / 21
Осталось найти AD. Заметим, что треугольник AOC — прямоугольный, и мы можем использовать теорему Пифагора:
AC^2 = AO^2 + OC^2
64^2 = R^2 + OC^2
OC^2 = 64^2 — R^2
Так как OD = OC — CD, то
AD^2 = AO^2 + OD^2 = R^2 + (OC — CD)^2
AD^2 = R^2 + (64^2 — R^2 — CD^2 + 2R*CD)
AD^2 = 64^2 — CD^2 + 2R*CD
Теперь можем подставить все значения в формулу для CD:
CD = (256/21) ± √((256/21)^2 — (64^2 — (256/21)^2) + (32^2))
CD = (256/21) ± √(256 — 64*21 + (32/21)^2*441)
CD = (256/21) ± √(256 — 1344 + 32^2)
CD = (256/21) ± √(1024 — 1344/21)
CD = (256/21) ± √(1024/441)
CD = (256/21) ± (32/21)
CD = 32/3 или CD = 160/21
Ответ: CD = 32/3 или CD = 160/21.
