Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — В треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС, отрезок AD — биссектриса. Докажите, что ∠ADB >∠ADC и BD > CD
Ответ от учителя
Для начала, построим треугольник ABC и биссектрису AD:
Так как AD является биссектрисой угла BAC, то она делит угол BAC на два равных угла: ∠BAD и ∠CAD. Также известно, что сторона AB больше стороны AC, то есть угол BAC больше угла ABC.
Теперь рассмотрим треугольник ABD. В нем угол BAD равен половине угла BAC, то есть меньше угла BAC. А угол ADB является внутренним углом треугольника ABC, значит, он меньше угла ABC. Следовательно, угол ADB меньше угла BAC.
Аналогично, рассмотрим треугольник ACD. В нем угол CAD равен половине угла BAC, то есть меньше угла BAC. А угол ADC является внутренним углом треугольника ABC, значит, он меньше угла ACB. Следовательно, угол ADC меньше угла BAC.
Таким образом, получаем, что угол ADB меньше угла BAC, а угол ADC меньше угла BAC. Но так как углы ADB и ADC являются смежными и их сумма равна углу BAC, то угол ADB должен быть больше угла ADC.
Также из треугольника ABD следует, что угол ABD больше угла BAD (так как угол ADB меньше угла BAC, а угол BAD равен половине угла BAC). Аналогично, из треугольника ACD следует, что угол ACD больше угла CAD. Но углы BAD и CAD равны (так как AD является биссектрисой), значит, угол ABD должен быть больше угла ACD.
Из этих двух неравенств следует, что ∠ADB >∠ADC.
Также из треугольника ABD следует, что BD/AD = AB/AC (так как AD является биссектрисой). А так как AB больше AC, то BD должна быть больше CD.
Таким образом, мы доказали, что ∠ADB >∠ADC и BD > CD.
