Вопрос школьника
В треугольнике ABC сторона ВС равна 6, сторона АС равна 8, угол А равен 30°. Найдите АВ и углы В и С.
Ответ от учителя
Для решения задачи можно воспользоваться теоремой косинусов, которая гласит:
a^2 = b^2 + c^2 — 2bc*cos(alpha),
где a, b, c — стороны треугольника, alpha — угол между сторонами b и c.
Применяя эту теорему к треугольнику ABC, получим:
AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2*AC*BC*cos(30°),
AB^2 = 8^2 + 6^2 — 2*8*6*cos(30°),
AB^2 = 64 + 36 — 96*0.866 = 64 + 36 — 83.136,
AB^2 = 16.864,
AB = sqrt(16.864) ≈ 4.1.
Таким образом, сторона AB равна примерно 4.1.
Для нахождения углов B и C можно воспользоваться теоремой синусов, которая гласит:
a/sin(alpha) = b/sin(beta) = c/sin(gamma),
где a, b, c — стороны треугольника, alpha, beta, gamma — соответствующие им углы.
Применяя эту теорему к треугольнику ABC, получим:
sin(B)/6 = sin(30°)/AB,
sin(B) = 6*sin(30°)/AB,
sin(B) = 6*0.5/4.1,
sin(B) ≈ 0.73,
B ≈ arcsin(0.73) ≈ 47.5°.
Аналогично, получим:
sin(C)/8 = sin(150°)/AB,
sin(C) = 8*sin(150°)/AB,
sin(C) = 8*(-0.866)/4.1,
sin(C) ≈ -1.69,
C ≈ arcsin(-1.69) ≈ -98.5°.
Заметим, что полученный угол C отрицательный, что говорит о том, что он находится за пределами треугольника. Поэтому, чтобы найти угол C внутри треугольника, нужно вычесть полученный угол из 180°:
C = 180° — 98.5° = 81.5°.
Таким образом, угол B ≈ 47.5°, угол C ≈ 81.5°.
