Вопрос школьника
В треугольнике ABC стороны АВ и ВС равны, а отрезок BF — его медиана. Вычислите градусную меру угла ABC, если угол ABF = 40°.
Ответ от учителя
Поскольку стороны AB и BC равны, то углы ABC и BCA также равны. Обозначим угол ABC через x. Тогда угол BCA также будет равен x.
Также известно, что BF является медианой треугольника ABC, то есть делит сторону AC пополам. Обозначим точку пересечения медианы BF и стороны AC через D.
Так как медиана BF делит сторону AC пополам, то AD = DC. Также угол ABF равен 40°, поэтому угол DBF также равен 40°.
Теперь рассмотрим треугольник BDF. В нем угол BDF равен 180° — 2x (сумма углов треугольника равна 180°), а угол DBF равен 40°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол BFD равен 180° — (40° + (180° — 2x)) = 140° — 2x.
Также в треугольнике BDF угол BFD равен половине угла BAC (так как BF является медианой). То есть 140° — 2x = (180° — x)/2.
Решая это уравнение, получаем x = 80°.
Таким образом, угол ABC равен 80°.
