Вопрос школьника
В треугольнике ABC стороны АВ = ВС = 5 м, АС = 8 м, медиана АК и биссектриса ВН пересекаются в точке М. Найдите ВМ и АК.
Ответ от учителя
Для начала найдем высоту треугольника АВС, опущенную из вершины А на сторону ВС. Обозначим ее через h. Используя формулу для площади треугольника, получаем:
S(ABC) = 1/2 * AB * h
h = 2 * S(ABC) / AB = 2 * (1/2 * AB * AC * sin(∠BAC)) / AB = AC * sin(∠BAC)
Заметим, что треугольник АВС является прямоугольным, так как стороны АВ и ВС равны, а значит, угол ∠BAC равен 90 градусов. Подставляя значения сторон, получаем:
h = 8 м * sin(90°) = 8 м
Теперь найдем длину медианы АК. Для этого воспользуемся формулой:
AM = 1/2 * sqrt(2 * AB^2 + 2 * AC^2 — BC^2)
Подставляя значения сторон, получаем:
AM = 1/2 * sqrt(2 * 5^2 + 2 * 8^2 — 5^2) = 1/2 * sqrt(50 + 128 — 25) = 1/2 * sqrt(153) = sqrt(153) / 2
Теперь найдем длину отрезка ВМ. Для этого воспользуемся теоремой о пересечении медиан в треугольнике:
BM = 2/3 * AK
Заметим, что треугольник АВС является прямоугольным, а значит, медиана АК является гипотенузой прямоугольного треугольника АМК, где М — точка пересечения медиан. Из этого следует, что:
AK^2 = AM^2 + MK^2
MK = sqrt(AK^2 — AM^2)
Подставляя значения, получаем:
MK = sqrt((2/3 * AK)^2 — (sqrt(153) / 2)^2) = sqrt(4/9 * AK^2 — 153/4)
Теперь можем выразить ВМ через AK:
BM = 2/3 * AK
VM = BM — BV = BM — AB/2 = 2/3 * AK — 5/2
Подставляя значения, получаем:
VM = 2/3 * sqrt(153) — 5/2
Таким образом, мы нашли длины отрезков ВМ и АК:
VM = 2/3 * sqrt(153) — 5/2
AK = sqrt(153) / 2
