Вопрос школьника
В треугольнике ABC точка D лежит на стороне АС так, что S ABD : SBDC = 1 : 3, а точка F лежит на стороне ВС так, что отрезок DF параллелен стороне АВ. В каком отношении точка F делит сторону ВС, считая от точки С?
Ответ от учителя
Пусть точка F делит сторону ВС в отношении m:n, где m и n — положительные числа. Тогда, по теореме Талеса для треугольника BDC:
$frac{BF}{FC} = frac{BD}{DC} = frac{SA}{SC} cdot frac{SD}{SB} = frac{1}{4} cdot frac{1}{3} = frac{1}{12}$
Также, по параллельности отрезка DF стороне АВ:
$frac{BF}{FC} = frac{BD}{DE}$
где точка E — точка пересечения отрезка DF с стороной АВ. Из этих двух равенств получаем:
$frac{BD}{DE} = frac{1}{12}$
Так как отрезок DF параллелен стороне АВ, то треугольники ADF и BFC подобны, и мы можем написать:
$frac{BF}{FC} = frac{AD}{DF} = frac{AC — CD}{DF}$
Заменяем $frac{BF}{FC}$ на $frac{1}{12}$ и получаем:
$frac{1}{12} = frac{AC — CD}{DF cdot FC}$
Заменяем $frac{BF}{FC}$ на $m:n$ и получаем:
$frac{m}{n} = frac{AC — CD}{DF cdot (m + n)}$
Отсюда находим:
$DF = frac{AC — CD}{m + n} cdot frac{n}{m}$
Таким образом, точка F делит сторону ВС в отношении $m:n$, где:
$frac{m}{n} = frac{BF}{FC} = frac{1}{12}$
и
$DF = frac{AC — CD}{m + n} cdot frac{n}{m}$
