Вопрос школьника
В треугольнике ABC точка D на стороне BC и точка F на стороне AC расположены так, что BD: DC = 3: 2 , AF : FC = 3: 4 . Отрезки AD и BF пересекаются в точке P. Найти отношение AP : PD.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой Менелая. Проведем через точки P и D прямую, параллельную стороне AB треугольника ABC, и обозначим точку ее пересечения с стороной AC как E.
Тогда по теореме Менелая для треугольника ABE и прямой, параллельной стороне AB, имеем:
$frac{AF}{FB} cdot frac{BP}{PE} cdot frac{ED}{DA} = 1$
Подставляя из условия задачи значения отношений AF : FC и BD : DC, получаем:
$frac{3}{4} cdot frac{BP}{PE} cdot frac{2}{3} = 1$
Откуда:
$frac{BP}{PE} = frac{2}{3} cdot frac{4}{3} = frac{8}{9}$
Аналогично, по теореме Менелая для треугольника BCD и прямой, параллельной стороне AB, имеем:
$frac{BD}{DC} cdot frac{CP}{PE} cdot frac{EF}{FB} = 1$
Подставляя значения отношений BD : DC и AF : FC, получаем:
$frac{3}{2} cdot frac{CP}{PE} cdot frac{4}{3} = 1$
Откуда:
$frac{CP}{PE} = frac{2}{3} cdot frac{3}{4} = frac{1}{2}$
Теперь рассмотрим треугольник APD и прямую, проходящую через точки P и E, параллельную стороне AD. По теореме Талеса для этого треугольника имеем:
$frac{AP}{PD} = frac{BE}{ED} cdot frac{CP}{PB}$
Подставляя найденные значения отношений CP : PE и BP : PE, получаем:
$frac{AP}{PD} = frac{BE}{ED} cdot frac{1/2}{8/9} = frac{9}{16} cdot frac{BE}{ED}$
Осталось найти отношение BE : ED. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ABC и ABD:
$AB^2 — BD^2 = AC^2 — CD^2$
$AB^2 — AD^2 = BC^2 — BD^2$
Вычитая из первого уравнения второе, получаем:
$AD^2 — CD^2 = AC^2 — BC^2$
Используя теорему косинусов для треугольников ACD и ABC, получаем:
$AD^2 — CD^2 = AC^2 — BC^2 = (AC^2 — AB^2) + (AB^2 — BC^2) = 2AC^2 cos angle BAC — 2BC^2 cos angle ABC$
Подставляя значения сторон и углов, получаем:
$AD^2 — CD^2 = 2 cdot 5^2 cdot frac{3}{5} — 2 cdot 4^2 cdot frac{4}{5} = 6$
Аналогично, вычитая из первого уравнения третье, получаем:
$AB^2 — BC^2 = AD^2 — CD^2 = 6$
Используя теорему косинусов для треугольника ABD, получаем:
$BE^2 = AB^2 — BD^2 = 6 + left(frac{2}{5} cdot 5right)^2 = frac{124}{5}$
Используя теорему косинусов для треугольника AED, получаем:
$ED^2 = AE^2 + AD^2 — 2AE cdot AD cdot cos angle EAD = 4^2 + 5^2 — 2 cdot 4 cdot 5 cdot frac{3}{5} = 6$
Откуда:
$frac{BE}{ED} = sqrt{frac{124}{5}} cdot frac{1}{sqrt{6}} = frac{2sqrt{31}}{3}$
И, наконец, подставляя найденное значение отношения BE : ED в выражение для отношения AP : PD, получаем:
$frac{AP}{PD} = frac{9}{16} cdot frac{2sqrt{31}}{3} = frac{3sqrt{31}}{16}$
Ответ: отношение AP : PD равно $frac{3sqrt{31}}{16}$.
