Вопрос школьника
В треугольнике ABC точки D и F лежат на стороне АС так, что точка D — внутренняя точка отрезка AF. Вычислите градусную меру угла ABC, если угол BDF = 38° и угол BFD = 64°, AD = DB, CF = FB.
Ответ от учителя
Поскольку AD = DB и CF = FB, то треугольник ABD и треугольник BCF являются равнобедренными. Это означает, что углы ABD и BCF равны между собой, а углы BAD и CBF также равны между собой.
Также из условия задачи известно, что угол BDF = 38° и угол BFD = 64°. Из суммы углов треугольника BDF следует, что угол DBF = 78°.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Известно, что точки D и F лежат на стороне АС, поэтому угол BAC можно разбить на три угла: угол BAD, угол DAF и угол FAC.
Угол BAD равен углу BDF + углу DBF = 38° + 78° = 116°.
Угол DAF равен углу BDF — углу BDA = 38° — углу BDA.
Угол FAC равен углу BCF — углу BCA = углу BCF — углу BAD.
Таким образом, угол BAC = угол BAD + угол DAF + угол FAC = 116° + (38° — угол BDA) + (углу BCF — углу BAD).
Учитывая, что углы BAD и BCF равны между собой, получаем:
угол BAC = 116° + (38° — угол BDA) + (углу BCF — углу BAD) = 116° + 38° + 38° — угол BDA = 192° — угол BDA.
Осталось найти угол BDA. Рассмотрим треугольник ABD. Известно, что AD = DB, а угол BAD = 116°. Таким образом, угол ABD = угол BAD / 2 = 58°.
Теперь можно найти угол BDA, используя тот факт, что сумма углов треугольника равна 180°:
угол BDA = 180° — угол ABD — угол BAD = 180° — 58° — 116° = 6°.
Подставляя найденное значение угла BDA в формулу для угла BAC, получаем:
угол BAC = 192° — угол BDA = 192° — 6° = 186°.
Таким образом, градусная мера угла ABC равна 186°.
