Вопрос школьника
В треугольнике ABC угол C прямой, а ∠B = 35°. На сторонах AB и BC отмечены такие точки P и Q, что ∠PCB = 20° и ∠BAQ = 10°. Найдите угол CPQ.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится несколько геометрических фактов.
Во-первых, сумма углов треугольника равна 180°. Так как угол C прямой, то ∠A + ∠B = 90°. Значит, ∠A = 55°.
Во-вторых, если в треугольнике провести биссектрису угла, то она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. То есть, если провести биссектрису угла B в треугольнике ABC, то она разделит сторону AC на отрезки AP и PC, причем AP/AB = PC/BC.
В-третьих, если в треугольнике провести высоту, то она делит противоположную сторону на два отрезка, пропорциональных другим двум сторонам. То есть, если провести высоту CH из вершины C на сторону AB, то она разделит сторону AB на отрезки AH и HB, причем AH/AC = HB/BC.
Используя эти факты, мы можем найти отношения длин отрезков AP, PC, AH и HB. Заметим, что ∠PCB = 20°, а угол B равен 35°. Значит, ∠PBC = 15°. Аналогично, ∠BAQ = 10°, а угол A равен 55°, значит, ∠QAB = 45°. Теперь мы можем построить следующую картинку:
«`
Q
/
/
/
/ 45°
/
A/___20°_____B
/
/
/
/
/
P
«`
Заметим, что треугольники APQ и CPQ подобны, так как у них соответственные углы равны: ∠APQ = ∠CPQ (оба равны 55°), ∠AQP = ∠CQP (оба равны 20°), а ∠PAQ = ∠PCQ (оба равны 105°). Значит, отношение длин сторон этих треугольников равно:
AP/CP = AQ/CQ
Теперь мы можем выразить отношения длин отрезков AP, PC, AH и HB через отношение длин AQ и CQ. Заметим, что треугольники ABQ и CBQ подобны, так как у них соответственные углы равны: ∠BAQ = ∠BCQ (оба равны 10°), ∠BQA = ∠BQC (оба равны 55°), а ∠QAB = ∠QCB (оба равны 45°). Значит, отношение длин сторон этих треугольников равно:
AQ/CQ = AB/BC
Теперь мы можем выразить отношения длин отрезков AP, PC, AH и HB через отношение длин AB и BC:
AP/PC = AQ/CQ = AB/BC
Заметим, что ∠CPQ = ∠APQ — ∠APC. Мы уже знаем, что ∠APQ = 55°. Осталось найти ∠APC. Заметим, что треугольники ACH и BCH подобны, так как у них соответственные углы равны: ∠AHC = ∠BHC (оба равны 90°), ∠ACH = ∠BCH (оба равны 20°), а ∠CAH = ∠CBH (оба равны 35°). Значит, отношение длин сторон этих треугольников равно:
AH/BH = AC/BC
Теперь мы можем выразить отношение длин AP и PC через отношение длин AB и BC:
AP/PC = AH/HC * BC/AB
Заметим, что ∠AHC = 90° — ∠CAH = 55°, так как ∠CAH = 35°. Аналогично, ∠BHC = 55°. Значит, отношение длин AP и PC равно:
AP/PC = tan 55° * BC/AB
Теперь мы можем выразить угол CPQ через отношение длин AB и BC:
tan ∠CPQ = tan ∠APQ — tan ∠APC = 1 — tan 55° * BC/AB
Подставляя значения, получаем:
tan ∠CPQ = 1 — tan 55° * BC/AB = 1 — tan 55° * sin 55° / sin 35° ≈ 0.363
Отсюда находим угол CPQ:
∠CPQ ≈ 20.5°
Итак, угол CPQ равен примерно 20.5°.
