Вопрос школьника
В треугольнике ABC угол В тупой. На продолжении стороны АВ за точку А обозначили произвольную точку D. Доведитъ, что CD> AC
Ответ от учителя
Для доказательства неравенства CD > AC в треугольнике ABC с углом B, который является тупым, можно использовать теорему косинусов.
Согласно этой теореме, для любого треугольника ABC с углом B, который является тупым, справедливо следующее уравнение:
c^2 = a^2 + b^2 — 2ab cos(B),
где a, b и c — длины сторон треугольника, а B — угол между сторонами a и b.
Применяя эту теорему к треугольнику ACD, получим:
CD^2 = AC^2 + AD^2 — 2AC·AD cos(∠CAD).
Так как угол B в треугольнике ABC является тупым, то угол CAD в треугольнике ACD будет острый. Это означает, что cos(∠CAD) > 0.
Следовательно, можно записать:
CD^2 > AC^2 + AD^2 — 2AC·AD cos(∠CAD) = AC^2 + AD^2 — 2AC·AD·0 = AC^2 + AD^2.
Таким образом, получаем неравенство:
CD^2 > AC^2 + AD^2.
Из этого неравенства следует, что CD > AC, так как обе величины являются положительными.
Таким образом, мы доказали, что в треугольнике ABC с углом B, который является тупым, для любой точки D на продолжении стороны AB справедливо неравенство CD > AC.
