Вопрос школьника
В треугольнике ABC высоты BH и AF пересекаются в точке O. Из точки C к прямой AC в одну полуплоскость с точкой B восстановлен перпендикуляр CK, равный отрезку BO. Докажите, что BK _I_ AB
Ответ от учителя
Для начала заметим, что треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как $BH$ и $AF$ являются высотами, а значит, пересекаются в точке $O$, являющейся ортоцентром треугольника. Также заметим, что $CK$ является биссектрисой угла $ACB$, так как $CK$ перпендикулярен $BO$, а $BO$ является медианой треугольника $ABC$.
Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Тогда $OM perp AB$, так как $OM$ является медианой треугольника $ABC$. Также заметим, что $OM parallel CK$, так как $OM$ и $CK$ являются биссектрисами угла $ACB$ и пересекаются в точке $O$.
Из условия задачи следует, что $CK = BO$. Тогда $OMCB$ — параллелограмм, так как $OM parallel CK$ и $OM = frac{1}{2}AB = frac{1}{2}BC = CB$. Значит, $BM = OC$.
Так как $OM perp AB$, то $BM = frac{1}{2}AB$. Значит, $OC = frac{1}{2}AB$. Тогда $AB = 2OC$.
Также заметим, что $AH = HC$, так как $AH$ и $HC$ являются высотами треугольника $ABC$ и пересекаются в точке $H$, являющейся ортоцентром треугольника. Тогда $AB = AH + HC = 2AH$.
Из полученных равенств следует, что $AH = OC$. Также заметим, что $AH parallel OC$, так как $AH$ и $OC$ являются высотами треугольника $ABC$ и пересекаются в точке $H$, являющейся ортоцентром треугольника. Значит, $AHOC$ — параллелограмм.
Тогда $BK = BO + OK = CK + OK = CO = AH = OC$. Значит, $BK = OC$ и $BK parallel OC$. Также заметим, что $OC parallel AB$, так как $OC$ и $AB$ являются медианами треугольника $ABC$ и пересекаются в точке $M$, являющейся серединой отрезка $AB$.
Из полученных равенств следует, что $BK parallel AB$ и $BK = OC = frac{1}{2}AB$. Значит, $BK$ является медианой треугольника $ABC$, проходящей через вершину $B$. Также заметим, что $AB$ является основанием высоты $BH$ треугольника $ABC$, проходящей через вершину $B$. Значит, $BK perp AB$.
Таким образом, мы доказали, что $BK$ является медианой треугольника $ABC$, проходящей через вершину $B$ и перпендикулярной его основанию $AB$. Значит, $BK perp AB$ и $BK$ является биссектрисой угла $ABC$. Также заметим, что $AB$ является биссектрисой угла $ACB$. Значит, $BK$ и $AB$ пересекаются под углом $45^circ$.
Таким образом, мы доказали, что $BK perp AB$ и $BK$ пересекает $AB$ под углом $45^circ$. Значит, $BK$ является биссектрисой угла $BAC$ и $BK in I$, где $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Также заметим, что $AB$ является биссектрисой угла $ACB$ и $AB in I$. Значит, $BK$ и $AB$ пересекаются в точке $I$, являющейся центром вписанной окружности треугольника $ABC$. Таким образом, мы доказали, что $BK in I$ и $BK parallel AB$.
