Вопрос школьника
В треугольнике AMP сторона AM равна 18 см, а сторона МР короче стороны AM в 2 раза. Найдите длину стороны АР, если периметр треугольника AMP равен 45 см.
Ответ от учителя
Периметр треугольника AMP равен сумме длин его сторон:
AM + MP + AP = 45
Также из условия задачи известно, что сторона МР короче стороны AM в 2 раза:
MP = AM / 2
Заменим MP в первом уравнении на AM / 2:
AM + AM / 2 + AP = 45
Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:
3/2 AM + AP = 45
Выразим AP через AM:
AP = 45 — 3/2 AM
Теперь нам нужно найти длину стороны АР, которая является третьей стороной треугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника APR:
AR^2 + AP^2 = PR^2
Нам известны длины сторон AM и AP, поэтому можем выразить длину стороны PR:
PR^2 = AR^2 + AP^2 = AR^2 + (45 — 3/2 AM)^2
Также из условия задачи известно, что сторона AM равна 18 см:
AM = 18
Подставим это значение в выражение для PR^2:
PR^2 = AR^2 + (45 — 3/2 * 18)^2 = AR^2 + 81
Нам нужно найти длину стороны АР, которая является третьей стороной треугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника APR:
AR^2 + AP^2 = PR^2
Нам известны длины сторон AM и AP, поэтому можем выразить длину стороны PR:
PR^2 = AR^2 + AP^2 = AR^2 + (45 — 3/2 AM)^2
Также из условия задачи известно, что сторона AM равна 18 см:
AM = 18
Подставим это значение в выражение для PR^2:
PR^2 = AR^2 + (45 — 3/2 * 18)^2 = AR^2 + 81
Теперь воспользуемся тем, что сторона МР короче стороны AM в 2 раза:
MP = AM / 2 = 9
Таким образом, мы получили систему уравнений:
AR + AP + PR = 45
PR^2 = AR^2 + 81
Выразим AP через AR из первого уравнения:
AP = 45 — AR — PR
Подставим это выражение во второе уравнение:
PR^2 = AR^2 + (45 — AR — PR)^2
Раскроем скобки и упростим выражение:
PR^2 = AR^2 + 2025 — 90AR — 2PR(45 — AR)
PR^2 + 2PRAR — AR^2 — 90AR + 2025 — 2025 = 0
PR^2 + 2PRAR — AR^2 — 90AR = 0
Выразим PR через AR из этого уравнения:
PR = (AR^2 + 90AR) / (2AR + 45)
Теперь можем выразить длину стороны АР через AR и PR:
AP + PR = 45 — AR
(AR^2 + 90AR) / (2AR + 45) + PR = 45 — AR
(AR^2 + 90AR) / (2AR + 45) + (AR^2 + 90AR) / (2AR + 45) = 45 — AR
2AR^2 + 180AR + 2PRAR + 4050 = 2AR^2 + 45AR
2PRAR + 180AR + 4050 = 45AR
2PRAR = -135AR + 4050
PR = (-135AR + 4050) / (2AR)
Теперь можем выразить длину стороны АР через AR и PR:
AP + PR = 45 — AR
(AR^2 + 90AR) / (2AR + 45) + PR = 45 — AR
(AR^2 + 90AR) / (2AR + 45) + (-135AR + 4050) / (2AR) = 45 — AR
AR^2 + 90AR + (-135AR + 4050)(2AR + 45) / (2AR)(2AR + 45) = (45 — AR)(2AR + 45)
AR^2 + 90AR + (-135AR + 4050)(2AR + 45) / (2AR)(2AR + 45) = 90AR + 2025 — AR^2
AR^2 + 90AR + (-135AR + 4050)(2AR + 45) / (2AR)(2AR + 45) — 90AR — 2025 = 0
AR^2 + 90AR — 135AR — 2025 + 4050 = 0
AR^2 — 45AR + 2025 = 0
(AR — 45)^2 = 0
AR = 45
Таким образом, длина стороны АР равна:
AP + PR = 45 — AR = 45 — 45 = 0
Ответ: длина стороны АР равна 0 см.
