Вопрос школьника
В треугольнике АСВ градусная мера угла С равна 60°. Внутри треугольника лежит точка О, равноудаленная от его вершин. Докажите, что треугольник АОВ тупоугольный.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что треугольник АОВ тупоугольный, нужно показать, что угол АОВ больше 90 градусов.
Рассмотрим треугольник АСВ. Так как угол С равен 60 градусов, то два других угла треугольника АСВ в сумме равны 120 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов). Обозначим эти углы через А и В.
Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АСВ, то она лежит на биссектрисе угла С. Значит, угол АОС равен углу ВОС, то есть они равны между собой. Обозначим этот угол через х.
Тогда углы АОВ и ВОС в сумме равны углу АВС (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов). Значит, угол АОВ равен (АВС — ВОС).
Но угол АВС равен (А + В), то есть 120 градусов. А угол ВОС равен х. Значит, угол АОВ равен (120 — х).
Так как угол С равен 60 градусов, то угол А + угол В + угол С = 180 градусов. Значит, угол А + угол В = 120 градусов.
Таким образом, угол АОВ равен (120 — х), а угол А + угол В = 120 градусов. Значит, угол АОВ больше 90 градусов (так как х меньше 30 градусов).
Таким образом, мы доказали, что треугольник АОВ тупоугольный.
