Вопрос школьника
В треугольнике АВС известно, что АС = 6v3 см, ZABC = 60°. Найдите радиус окружности, проходящей через центр вписанной окружности треугольника АВС и точки А и С
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится формула для радиуса вписанной окружности треугольника:
r = (p — a) * tan(A/2)
где r — радиус вписанной окружности, p — полупериметр треугольника (p = (a + b + c)/2), a — длина стороны треугольника, A — соответствующий ей угол, измеряемый в радианах.
Для начала найдем длины сторон треугольника АВС. Из условия задачи известно, что АС = 6√3 см и угол ZABC = 60°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол ZACB = 180° — 60° — 90° = 30°. Теперь мы можем применить тригонометрические соотношения для нахождения длин сторон:
AB = AC * sin(ZACB) / sin(ZABC) = 6√3 * sin(30°) / sin(60°) = 6 см
BC = AC * sin(ZABC) / sin(ZACB) = 6√3 * sin(60°) / sin(30°) = 12 см
AC = 6√3 см (дано)
Теперь мы можем найти полупериметр треугольника:
p = (AB + BC + AC) / 2 = (6 + 12 + 6√3) / 2 = 9 + 3√3 см
Также нам известно, что радиус искомой окружности проходит через точки А и С, поэтому он является радиусом описанной окружности треугольника АСО, где О — центр вписанной окружности треугольника АВС.
Треугольник АСО является прямоугольным, так как угол АОС равен 90° (радиус описанной окружности перпендикулярен хорде, соединяющей точки А и С). Поэтому мы можем применить теорему Пифагора:
AO^2 + OS^2 = AS^2
Нам нужно найти только радиус AO, поэтому мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности:
S = p * r
где S — площадь треугольника, r — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника АВС можно найти по формуле Герона:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(9 + 3√3 * (3 + √3) * (3 — √3) * (3√3 — 3)) = 27 см^2
Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности:
r = S / p = 27 / (9 + 3√3) см
Наконец, мы можем найти радиус описанной окружности треугольника АСО, используя теорему Пифагора:
AO^2 = AS^2 — OS^2 = (6√3)^2 — r^2 = 108 — (27 / (9 + 3√3))^2 см^2
Таким образом, радиус искомой окружности равен:
sqrt(AO^2 + OS^2) = sqrt(108 — (27 / (9 + 3√3))^2 + r^2) = sqrt(108 — (27 / (9 + 3√3))^2 + (27 / (9 + 3√3))) см
Чтобы получить численное значение радиуса, можно воспользоваться калькулятором.
