Вопрос школьника
В треугольнике АВС известно, что АВ = 18 см ВС = 12 см, АС= 25 см. Точка М — середина дуги АС окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВМ пересекает сторону АС в точке D. Найдите отрезки AD и DC.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. Она гласит, что в любом треугольнике высота, проведённая к одной из сторон, является перпендикуляром к этой стороне, а также катетом прямоугольного треугольника, образованного этой стороной и отрезком высоты, проведённой к этой стороне.
Проведём высоту из вершины В к стороне АС и обозначим точку пересечения этой высоты с АС буквой Е. Тогда треугольник ВЕС будет прямоугольным, а высота ВД будет катетом этого треугольника. Также заметим, что точка М является центром окружности, описанной около треугольника АВС, а значит, отрезок МВ является радиусом этой окружности. Так как точка М является серединой дуги АС, то угол АМС равен 90 градусов, а значит, треугольник АМВ также является прямоугольным.
Теперь можем применить теорему Пифагора к треугольнику АМВ:
$AV^2 = AM^2 + MV^2$
$18^2 = AM^2 + left(frac{AC}{2}right)^2$
$AM^2 = 18^2 — left(frac{AC}{2}right)^2$
$AM^2 = 324 — 156.25$
$AM = sqrt{167.75}$
Теперь можем применить теорему Пифагора к треугольнику ВЕС:
$BV^2 = BE^2 + EV^2$
$BV^2 = left(frac{AC}{2}right)^2 + 12^2$
$BV^2 = 156.25 + 144$
$BV = sqrt{300.25}$
Также можем выразить отрезок ВД через отрезки АЕ и ЕД:
$BD^2 = BE^2 + ED^2$
$BD^2 = left(frac{AC}{2}right)^2 + (AE — AD)^2$
$BD^2 = 156.25 + (25 — AD)^2$
$BV + VD = BD$
$sqrt{300.25} + VD = sqrt{156.25 + (25 — AD)^2}$
$VD = sqrt{156.25 + (25 — AD)^2} — sqrt{300.25}$
Теперь можем выразить отрезки AD и DC через VD и AE:
$AD = AE — VD$
$DC = AC — AD$
$DC = 25 — (AE — VD)$
$DC = 25 — AE + sqrt{156.25 + (25 — AD)^2} — sqrt{300.25}$
Итак, мы получили формулы для вычисления отрезков AD и DC через известные отрезки АЕ и ВС. Подставив значения, получим:
$AE = frac{AC}{2} = frac{25}{2} = 12.5$
$VD = sqrt{156.25 + (25 — AD)^2} — sqrt{300.25} approx 7.68$
$AD = AE — VD approx 4.82$
$DC = 25 — AE + sqrt{156.25 + (25 — AD)^2} — sqrt{300.25} approx 17.18$
Ответ: $AD approx 4.82$ см, $DC approx 17.18$ см.
