Вопрос школьника
В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Точка их пересечения обозначена D. Найдите угол ADB, если 1) АА = 50°, АВ = 100°; 2) АА = α, АВ = β; 3) АС = 130°; 4) АС = γ
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание о том, что биссектриса угла делит его на две равные части. Также нам понадобится знание о том, что сумма углов треугольника равна 180°.
1) В треугольнике АВС угол А равен 50°, а угол В равен 100°. Так как биссектриса угла делит его на две равные части, то угол АДВ равен 50°/2 = 25°, а угол ВДС равен 100°/2 = 50°. Также заметим, что угол АВС равен 180° — 50° — 100° = 30°. Так как биссектриса угла делит его на две равные части, то угол АДС равен 30°/2 = 15°. Теперь можем найти угол ADB: ADB = АДВ + ВДС + ВДА = 25° + 50° + 15° = 90°.
2) В этом случае угол А равен α, а угол В равен β. Аналогично предыдущему пункту, находим углы АДВ, ВДС и АДС. Угол ADB равен АДВ + ВДС + ВДА = (α/2) + (β/2) + (180° — α — β)/2 = 90° — (α + β)/2.
3) В этом случае угол АС равен 130°. Заметим, что угол АВС равен 180° — 130° = 50°. Так как биссектриса угла делит его на две равные части, то угол АДС равен 50°/2 = 25°. Теперь можем найти угол ADB: ADB = АДВ + ВДС + ВДА = 25° + 50° + (180° — 130°)/2 = 95°.
4) В этом случае угол АС равен γ. Аналогично предыдущему пункту, находим угол АДС. Так как угол АВС равен 180° — АС — АВ, то он равен 180° — γ — β. Также заметим, что угол ААВ равен 180° — АА = 180° — α. Так как биссектриса угла делит его на две равные части, то угол АДВ равен (180° — α)/2. Теперь можем найти угол ADB: ADB = АДВ + ВДС + ВДА = (180° — α)/2 + (180° — γ — β)/2 + АДС = 180° — (α + β + γ)/2.
