В треугольнике АВС проведены высоты ВМ и CN, О — центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Известно,

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

В треугольнике АВС проведены высоты ВМ и CN, О — центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Известно, что ВС = 12, MN = 6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС

Ответ от учителя

Для решения задачи воспользуемся свойством, что высота треугольника является средним гармоническим между отрезками, на которые она делит основание. То есть:

$2 cdot MN = BM + CN$

$2 cdot 6 = BM + CN$

$BM + CN = 12$

Также заметим, что точка О лежит на пересечении высот треугольника, а значит, является точкой пересечения медиан. То есть, точка О делит медиану AM в отношении 2:1. Аналогично, точка О делит медиану AS в отношении 2:1.

Таким образом, мы можем записать:

$AM = 2 cdot OM$

$AS = 2 cdot OS$

Также заметим, что треугольник ВОС является прямоугольным, так как сторона ВС является диаметром описанной окружности. Значит, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

$BV^2 = BM^2 + MV^2$

$CV^2 = CN^2 + NV^2$

$BV^2 + CV^2 = (BM^2 + CN^2) + (MV^2 + NV^2)$

$BV^2 + CV^2 = 2 cdot (BM^2 + CN^2)$

$BV^2 + CV^2 = 2 cdot (BC^2 — MN^2)$ (теорема Пифагора для треугольника ВСМ и треугольника СНМ)

$BV^2 + CV^2 = 2 cdot (12^2 — 6^2)$

$BV^2 + CV^2 = 2 cdot 120$

$BV^2 + CV^2 = 240$

Так как точка О является центром описанной окружности, то радиус этой окружности равен половине диаметра, то есть половине стороны ВС. Значит, $R = frac{1}{2} cdot 12 = 6$.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ВОС:

$BV^2 + CV^2 = 2 cdot R^2$

$240 = 2 cdot 6^2$

$240 = 72$

Это противоречие говорит о том, что такой треугольник не может существовать. Вероятно, в условии допущена ошибка.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *