Вопрос школьника
В треугольнике АВС с разными сторонами биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС в точке К и описаную вокруг треугольника АВС окружность в точке L. Через точки В, К, L проводится вторая окружность, которая вторично пересекает прямую АВ в точке М. Докажите, что АМ=АС.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник $AKL$. По условию, $KL$ является биссектрисой угла $KAC$, а значит, $angle KAL = angle KAC + angle LAC/2 = angle BAC/2 + angle ABC/2 = angle A$. Также, $angle KLA = angle KCA = angle BCA/2$. Значит, треугольник $AKL$ подобен треугольнику $ABC$ по признаку угол-угол.
Так как $L$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, то $angle LBC = angle LAC = angle A/2$. Также, $angle KBC = angle KAC = angle A/2$. Значит, треугольник $BKC$ равнобедренный, и $BK = CK$.
Рассмотрим теперь треугольник $BKM$. По условию, точка $M$ лежит на второй окружности, проходящей через точки $B$, $K$ и $L$. Значит, $angle BMK = angle BLK = angle BAC/2 = angle KAL$. Также, $angle BKM = angle BKL + angle LKM = angle BCL + angle LAK = angle BAC/2 + angle BAC/2 = angle BAC$. Значит, треугольник $BKM$ подобен треугольнику $KAL$ по признаку угол-угол.
Таким образом, мы получили, что треугольники $AKL$ и $BKM$ подобны, а значит, соответствующие стороны пропорциональны. В частности, $AM/KL = AB/AC$. Но мы знаем, что $KL$ является биссектрисой угла $KAC$, а значит, $AK/AC = KL/KC$. Подставляя это в предыдущее равенство, получаем $AM/KC = AB/AK$. Но мы также знаем, что $BK = CK$, а значит, $AB/AK = BC/CK$. Подставляя это в предыдущее равенство, получаем $AM/KC = BC/CK$, или $AM = BC$. Но мы также знаем, что треугольник $ABC$ равнобедренный, и $AB = AC$. Значит, $AM = AB = AC$, что и требовалось доказать.
