Вопрос школьника
В треугольнике АВС сторона АВ в два раза больше ВС. Пусть М — произвольная точка на стороне АС Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника АВМ, в два раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника ВСМ.
Ответ от учителя
Для начала, обозначим длину стороны АВ как 2x, а длину стороны ВС как x. Тогда длина стороны АС будет равна 3x.
Рассмотрим треугольник АВС. Мы знаем, что угол А равен сумме углов В и С, то есть А = В + С. Также мы знаем, что угол АВС = 180°, так как это сумма углов треугольника. Значит, угол АВС = 2А.
Теперь рассмотрим треугольник АВМ. Угол АМВ равен половине угла АВС, то есть АМВ = АВС/2 = А/2. Также мы знаем, что угол АМВ равен сумме углов АМС и МСВ, то есть АМВ = АМС + МСВ. Значит, АМС + МСВ = А/2.
Аналогично, рассмотрим треугольник ВСМ. Угол ВМС равен половине угла ВСА, то есть ВМС = ВСА/2 = С/2. Также мы знаем, что угол ВМС равен сумме углов ВМА и АМС, то есть ВМА + АМС = ВМС.
Теперь мы можем записать равенство радиусов окружностей, описанных около треугольников АВМ и ВСМ. Радиус окружности, описанной около треугольника АВМ, равен длине стороны АМ, поделенной на синус угла АМВ. Радиус окружности, описанной около треугольника ВСМ, равен длине стороны ВМ, поделенной на синус угла ВМС. Значит, чтобы доказать, что радиус окружности, описанной около треугольника АВМ, в два раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника ВСМ, нам нужно доказать, что:
AM/sin(АМВ) = 2VM/sin(ВМС)
Заменим значения углов и сторон в этом равенстве, используя наши предыдущие выкладки:
AM/sin(A/2) = 2x/sin(C/2)
Теперь воспользуемся формулой синуса для треугольника АСМ:
AM/sin(A/2) = 3x/sin(C)
Подставим это выражение в предыдущее равенство:
3x/sin(C) = 2x/sin(C/2)
Упростим:
6sin(C/2) = sin(C)
Теперь воспользуемся формулой половинного угла для синуса:
6sin(C/2) = 2sin(C/2)cos(C/2)
Упростим:
3 = cos(C/2)
Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, описанной около треугольника АВМ, в два раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника ВСМ.
