Вопрос школьника
В треугольнике АВС угол В равен 140°, высота к стороне АС равна 1. Рассмотрим круг радиусом √2 с центром в точке В. Найдите площадь общей части треугольника АВС и круга.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится найти длину стороны АС треугольника АВС. Для этого воспользуемся теоремой косинусов:
AC² = AB² + BC² — 2AB·BC·cos(B)
Заметим, что угол В равен 140°, а значит, угол С равен 180° — 140° — угол А = 40°. Тогда:
cos(B) = cos(140°) = -cos(40°)
Подставляем значения в формулу:
AC² = BV² + AV² — 2BV·AV·cos(B)
AC² = (√2)² + 1² — 2√2·1·(-cos(40°))
AC² = 3 + 2√2·cos(40°)
Теперь можем найти высоту BH треугольника АВС, опущенную на сторону АС:
BH = AC·sin(A) = 1·sin(40°) ≈ 0,6428
Также нам понадобится найти расстояние между центром круга В и стороной АС. Обозначим его как BD. Заметим, что треугольник ВBD является прямоугольным, а значит:
BD = BH·tan(B) = BH·tan(140°) ≈ -1,376
Отрицательный знак означает, что точка D находится на противоположной стороне от точки В.
Теперь можем найти площадь сегмента круга, ограниченного хордой АС и дугой круга, проходящей через точки А и С. Обозначим эту площадь как S1. Для этого воспользуемся формулой:
S1 = (r²/2)·(α — sin(α))
где r — радиус круга, α — центральный угол, соответствующий дуге.
Радиус круга у нас уже есть — √2. Центральный угол α можно найти, разделив угол В на два, так как хорда АС является биссектрисой угла В:
α = 140°/2 = 70°
Тогда:
S1 = (√2²/2)·(70° — sin(70°)) ≈ 0,9656
Наконец, можем найти площадь общей части треугольника АВС и круга, обозначенной на рисунке как S2. Для этого нужно вычесть из площади сегмента S1 площадь треугольника ВBD:
S2 = S1 — S(BVD)
Треугольник ВBD является прямоугольным, поэтому его площадь можно найти по формуле:
S(BVD) = (BD·BH)/2 ≈ -0,4435
Тогда:
S2 ≈ 0,9656 — (-0,4435) ≈ 1,4091
Ответ: площадь общей части треугольника АВС и круга равна примерно 1,4091.
