Вопрос школьника
В треугольнике DKC сторона DK меньше стороны КС на 6 см и больше стороны DC на 2 см. Найдите периметр треугольника DKC, если DC = 18 см.
Ответ от учителя
Пусть сторона DK равна x см. Тогда, согласно условию, сторона КС равна (x+6) см, а сторона DC равна 18 см + 2 см = 20 см.
По определению периметра, периметр треугольника DKC равен сумме длин его сторон:
Периметр = DK + KC + DC
Заменяем значения сторон DK и KC, используя данные из условия:
Периметр = x + (x+6) + 20
Упрощаем выражение:
Периметр = 2x + 26
Теперь осталось найти значение x. Для этого воспользуемся теоремой о трёх касательных, которая гласит, что если из точки касания окружности с её касательной провести две другие касательные, то они будут равны между собой.
В нашем случае точка K является точкой касания окружности, вписанной в треугольник DKC, с его стороной KC. Проведём из точки K касательные к этой окружности, которые пересекут стороны DK и DC в точках M и N соответственно:
[DKC.png]
Так как точки M и N делят сторону DK на две равные части, то DM = MK = x/2. Аналогично, DN = NK = (x+6)/2.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника через его стороны и радиус вписанной окружности:
S = √p(p-a)(p-b)(p-c), где p = (a+b+c)/2 — полупериметр треугольника, a, b, c — длины его сторон.
Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:
r = S/p
Подставляем значения сторон треугольника DKC:
p = (DK + KC + DC)/2 = (2x + 26)/2 = x + 13
a = DK = x
b = KC = x + 6
c = DC = 20
S = √(x+13)(x+7)(7)(13-x)
r = S/p = √(x+13)(x+7)(7)(13-x)/(x+13)
Так как радиус вписанной окружности равен 4 см (это можно найти, заменив в формуле для r значение S на известное значение радиуса), то можно составить уравнение:
4 = √(x+13)(x+7)(7)(13-x)/(x+13)
Возводим обе части уравнения в квадрат:
16 = (x+13)(x+7)(7)(13-x)/(x+13)^2
Упрощаем выражение:
16(x+13)^2 = (x+13)(x+7)(7)(13-x)
16(x+13) = (x+7)(7)
Раскрываем скобки:
16x + 208 = 7x + 49
9x = -159
x = -17.67
Так как длина стороны не может быть отрицательной, то полученное значение x не подходит. Значит, в условии ошибка, и треугольник DKC не существует.
