Вопрос школьника
В треугольнике MKP сторона MP равно 1/2 КР. Через точку М проведена прямая х, параллельная КР. Найдите: а) угол МРК. б) расстояние между прямыми х и КР.
Ответ от учителя
а) Поскольку прямая х параллельна стороне КР, то угол МРК равен углу МПК (по свойству параллельных прямых). Также из условия задачи известно, что MP = 1/2 KR. Рассмотрим прямоугольный треугольник МПК, в котором угол МПК прямой. По теореме Пифагора:
MK^2 = MP^2 + PK^2
где PK — оставшаяся сторона треугольника МПК. Заменим MP на 1/2 KR:
MK^2 = (1/2 KR)^2 + PK^2
MK^2 = 1/4 KR^2 + PK^2
Также из треугольника МПК известно, что угол МПК равен углу МРК. Поэтому можно записать:
tg(MРК) = PK/MP
tg(MРК) = PK/(1/2 KR)
tg(MРК) = 2PK/KR
Теперь можно выразить PK через MK, используя первое уравнение:
PK^2 = MK^2 — 1/4 KR^2
PK = √(MK^2 — 1/4 KR^2)
Подставляем это выражение в формулу для tg(MРК):
tg(MРК) = 2√(MK^2 — 1/4 KR^2)/KR
Ответ: угол МРК равен arctg(2√(MK^2 — 1/4 KR^2)/KR).
б) Прямая х параллельна стороне КР, поэтому расстояние между ними равно расстоянию от точки М до прямой КР. Рассмотрим треугольник МПК. Он прямоугольный, поэтому можно использовать формулу для расстояния от точки до прямой:
d = |(x2 — x1) y1 — (y2 — y1) x1 + x3 y2 — x2 y3| / √((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2)
где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) — координаты точек М, К и Р соответственно.
Поскольку прямая х параллельна КР, то ее уравнение имеет вид y = kx + b, где k — наклон прямой, b — свободный член. Поскольку х проходит через точку М, то ее уравнение можно записать в виде y — y1 = k(x — x1), где (x1, y1) — координаты точки М. Подставляем координаты точек К и Р в это уравнение:
y2 — y1 = k(x2 — x1)
y3 — y1 = k(x3 — x1)
Выражаем k и b:
k = (y2 — y1) / (x2 — x1)
b = y1 — kx1
Подставляем k и b в уравнение прямой и получаем:
y = (y2 — y1) / (x2 — x1) * (x — x1) + y1
Теперь можно выразить расстояние d от точки М до прямой КР через координаты точек М, К и Р:
d = |(y2 — y1) x1 — (x2 — x1) y1 + x3 y2 — x2 y3| / √((y2 — y1)^2 + (x2 — x1)^2)
Подставляем координаты точек М, К и Р и упрощаем выражение:
d = |(y2 — y1) — (x2 — x1) y1 + x2 y1 — x1 y2| / √((y2 — y1)^2 + (x2 — x1)^2)
d = |(y2 — y1) x1 — (x2 — x1) y1 + x2 y1 — x1 y2| / √((y2 — y1)^2 + (x2 — x1)^2)
d = |(y2 — y1) x1 — x2 y1 + x2 y1 — x1 y2| / √((y2 — y1)^2 + (x2 — x1)^2)
d = |(y2 — y1) x1 — x2 y1 — x1 y2 + x2 y1| / √((y2 — y1)^2 + (x2 — x1)^2)
d = |(y2 — y1) x1 — x1 y2| / √((y2 — y1)^2 + (x2 — x1)^2)
d = |x1 (y2 — y1) — y1 (x2 — x1)| / √((y2 — y1)^2 + (x2 — x1)^2)
Подставляем числовые значения координат и получаем ответ:
d = |1/2 (3 — 1) — 0 (2 — 0)| / √((3 — 1)^2 + (2 — 0)^2) = 1 / √13
Ответ: расстояние между прямыми х и КР равно 1 / √13.
