Вопрос школьника
В треугольнике OBH точка M делит сторону OB на отрезки 4=OMи МВ = 28, ∠ОНМ = ∠ ОВН. Найдите площадь треугольника OHM, если ∠О = ∠45
Ответ от учителя
Из условия задачи мы знаем, что треугольник OBH является прямоугольным, так как угол О равен 45 градусов. Также мы знаем, что точка M делит сторону OB на отрезки 4=OMи МВ = 28, а угол ОНМ равен углу ОВН.
Для начала найдем длину отрезка OH. Так как треугольник OBH прямоугольный, то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
OH² = OB² + BH²
Так как угол О равен 45 градусов, то стороны OB и BH равны друг другу:
OH² = OB² + OB²
OH² = 2OB²
OH = OB√2
Так как мы знаем, что OM = 4 и МВ = 28, то длина отрезка BV равна OB — 4 — 28 = OB — 32. Также мы знаем, что угол ОНМ равен углу ОВН, а значит, треугольники ОНМ и ОВН подобны. Из этого следует, что:
OM/OV = ON/OB
4/OV = ON/(OB — 32)
ON = 4(OB — 32)/OV
Теперь мы можем выразить площадь треугольника OHM через длины его сторон:
S = 0.5 * OH * OM * sin(∠OHM)
S = 0.5 * OB√2 * 4 * sin(∠OHM)
S = 2OB * sin(∠OHM)
Также мы можем выразить sin(∠OHM) через длины сторон треугольника ОНМ:
sin(∠OHM) = ON/OH
sin(∠OHM) = 4(OB — 32)/(OB√2)
Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для площади треугольника OHM:
S = 2OB * 4(OB — 32)/(OB√2)
S = 8(OB² — 32OB)/(OB√2)
S = 8OB(√2 — 4)
Таким образом, площадь треугольника OHM равна 8OB(√2 — 4). Остается только найти длину стороны OB. Так как угол О равен 45 градусов, то треугольник ОВН также является прямоугольным, и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
OV² = ON² + NV²
OV² = (4(OB — 32)/√2)² + (OB — 32)²
OV² = 8(OB — 32)²
OV = 4√2(OB — 32)
Теперь мы можем выразить площадь треугольника OHM через длину стороны OB:
S = 8OB(√2 — 4) = 8(4√2(OV/4) — 32)(√2 — 4)
S = 16√2OV — 256
Таким образом, площадь треугольника OHM равна 16√2OV — 256, где OV = 4√2(OB — 32).
