Вопрос школьника
В треугольнике проведены три медианы. Докажите, что они разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.
Ответ от учителя
Медиана в треугольнике — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Таким образом, в треугольнике ABC медианы проводятся из вершин A, B и C к серединам BC, AC и AB соответственно. Обозначим середины сторон треугольника как D, E и F, соответственно.
Рассмотрим треугольник AEF. Он образован медианами из вершин A и B, а также стороной EF, которая является половиной стороны AC. Поэтому сторона EF равна половине стороны AC, то есть EF = AC/2. Аналогично, сторона AE равна половине стороны AB, то есть AE = AB/2. Таким образом, треугольник AEF является прямоугольным треугольником с катетами AE и EF, а гипотенуза AF равна медиане из вершины A.
Аналогично, можно доказать, что треугольники BDF и CDE являются прямоугольными треугольниками с гипотенузами, равными медианам из вершин B и C соответственно.
Таким образом, мы доказали, что медианы треугольника ABC делят его на три прямоугольных треугольника AEF, BDF и CDE. При этом, каждый из этих треугольников имеет площадь, равную половине площади треугольника ABC. Действительно, площадь треугольника ABC можно выразить как S = (AB*BC*sin(∠ABC))/2, а площадь треугольника AEF как S1 = (AE*EF)/2 = (AB*BC*sin(∠ABC))/8. Таким образом, S1 = S/2, и аналогичное равенство выполняется для треугольников BDF и CDE.
Итак, мы доказали, что медианы треугольника ABC делят его на три прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет площадь, равную половине площади треугольника ABC. Следовательно, треугольник ABC разбивается на шесть равновеликих треугольников, каждый из которых имеет площадь, равную S/6.
