Вопрос школьника
В треугольнике проведены три высоты. Докажите, что к наибольшей стороне треугольника проведена наименьшая высота.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся противоречием. Предположим, что к наибольшей стороне треугольника проведена не наименьшая высота. Тогда к этой стороне проведена бóльшая высота, чем к другим сторонам.
Пусть наибольшая сторона треугольника называется AB, а высота, проведенная к ней, — h1. Пусть высоты, проведенные к остальным сторонам, называются h2 и h3 соответственно.
Так как h1 больше, чем h2 и h3, то точка пересечения высот H1 лежит на стороне AB, а точки пересечения высот H2 и H3 лежат на сторонах AC и BC соответственно.
Рассмотрим треугольник AHB. В нем сторона AB является наибольшей, а высота h1 — наименьшей. Так как площадь треугольника можно выразить как S = 0.5 * AB * h1, то при фиксированной стороне AB площадь треугольника будет максимальной, когда высота h1 будет минимальной.
Но мы предположили, что к наибольшей стороне треугольника проведена не наименьшая высота, что противоречит доказанному выше утверждению о максимальной площади треугольника. Следовательно, наибольшей стороне треугольника проведена наименьшая высота.
