Вопрос школьника
В треугольнике со сторонами 12 см и 9 см проведена биссектриса к третьей стороне. При этом оказалось, что один из отрезков, на которые биссектриса разделила эту сторону, равен одной из данных сторон. Найдите третью сторону.
Ответ от учителя
Пусть третья сторона треугольника равна $x$ см. Тогда по теореме биссектрисы:
$$frac{9}{x}=frac{12}{x+y},$$
где $y$ — длина отрезка, на который биссектриса разделила третью сторону.
Также из условия задачи известно, что $y=9$ или $y=12$. Рассмотрим оба случая:
1) Если $y=9$, то из уравнения выше получаем:
$$9(x+y)=12x,$$
$$9x+9cdot 9=12x,$$
$$3x=81,$$
$$x=27.$$
Таким образом, третья сторона равна 27 см.
2) Если $y=12$, то из уравнения получаем:
$$9(x+12)=12x,$$
$$9x+108=12x,$$
$$3x=108,$$
$$x=36.$$
Таким образом, третья сторона равна 36 см.
Ответ: третья сторона треугольника равна либо 27 см, либо 36 см.
