Вопрос школьника
В треугольной пирамиде ABCD выполняются равенства: ADB = DBC = ADC = АВС; ABD = BDC = DAC = ACВ. Для каждого из пунктов а), б), в) выясните, существует ли такая пирамида, и, если существует, найдите периметр треугольника ABC:
a)DB= 10,DA = 8; 6)DB=27, CA = 8; b)DB=2,BA = S.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника. Пусть стороны треугольника $ABC$ равны $a$, $b$ и $c$, а углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ равны $alpha$, $beta$ и $gamma$ соответственно. Тогда теорема косинусов утверждает, что:
$$a^2 = b^2 + c^2 — 2bccosalpha$$
$$b^2 = a^2 + c^2 — 2accosbeta$$
$$c^2 = a^2 + b^2 — 2abcosgamma$$
Теперь рассмотрим каждый из пунктов задачи:
a) $DB=10$, $DA=8$
Пусть $AB=x$, $BC=y$ и $AC=z$. Тогда из условия $ADB=DBC=ADC=ABC$ следует, что треугольник $ABC$ равнобедренный, то есть $AB=AC=x$. Также из условия $ABD=BDC=DAC=ACB$ следует, что треугольник $ABC$ равносторонний, то есть $AB=BC=AC=x$. Тогда $DB=xsqrt{2}-8$ (по теореме Пифагора в треугольнике $ABD$), и мы можем выразить $x$ через $DB$:
$$x=frac{DB+8}{sqrt{2}}$$
Теперь можем выразить $y$ и $z$ через $x$:
$$y=sqrt{x^2+DB^2}=sqrt{frac{(DB+8)^2}{2}+DB^2}$$
$$z=sqrt{x^2+DB^2}=sqrt{frac{(DB+8)^2}{2}+DB^2}$$
Теперь можем найти периметр треугольника $ABC$:
$$P=3x=3cdotfrac{DB+8}{sqrt{2}}=3sqrt{2}cdotfrac{DB+8}{sqrt{2}}=3(DB+8)=3(10+8)=boxed{54}$$
Таким образом, существует пирамида с заданными условиями, и периметр треугольника $ABC$ равен $54$.
б) $DB=2,BA=S$
Пусть $AB=x$, $BC=y$ и $AC=z$. Тогда из условия $ADB=DBC=ADC=ABC$ следует, что треугольник $ABC$ равнобедренный, то есть $AB=AC=x$. Также из условия $ABD=BDC=DAC=ACB$ следует, что треугольник $ABC$ равносторонний, то есть $AB=BC=AC=x$. Тогда $DB=xsqrt{2}$ (по теореме Пифагора в треугольнике $ABD$), и мы можем выразить $x$ через $DB$:
$$x=frac{DB}{sqrt{2}}$$
Теперь можем выразить $y$ и $z$ через $x$:
$$y=sqrt{x^2+DB^2}=sqrt{frac{DB^2}{2}+DB^2}=sqrt{frac{3}{2}DB^2}=sqrt{frac{3}{2}S^2}=frac{Ssqrt{6}}{2}$$
$$z=sqrt{x^2+DB^2}=sqrt{frac{DB^2}{2}+DB^2}=sqrt{frac{3}{2}DB^2}=sqrt{frac{3}{2}S^2}=frac{Ssqrt{6}}{2}$$
Теперь можем найти периметр треугольника $ABC$:
$$P=3x=3cdotfrac{DB}{sqrt{2}}=3sqrt{2}cdotfrac{DB}{sqrt{2}}=3DB=3Ssqrt{2}$$
Таким образом, существует пирамида с заданными условиями, и периметр треугольника $ABC$ равен $3Ssqrt{2}$.
