Вопрос школьника
В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, отрезок AF — высота треугольника ABC. Докажите, что SF есть высота треугольника SBC.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что SF является высотой треугольника SBC, необходимо показать, что она перпендикулярна к стороне BC и проходит через ее середину.
Рассмотрим треугольник ABC. Так как AF является высотой, то она перпендикулярна к стороне BC и проходит через ее середину. Обозначим середину стороны BC как M.
Также заметим, что треугольник SBC является проекцией треугольника ABC на плоскость, проходящую через вершину S и параллельную плоскости основания. Таким образом, сторона BC является проекцией стороны AB, а точка M является проекцией точки A.
Теперь рассмотрим треугольник SBF. Так как SA перпендикулярна плоскости основания, то она перпендикулярна и к прямой BC, которая лежит в этой плоскости. Также заметим, что SF является проекцией стороны AB на плоскость, проходящую через вершину S и параллельную плоскости основания. Таким образом, сторона BF является проекцией стороны AB.
Так как точка M является серединой стороны BC, то она также является серединой проекции стороны AB на плоскость SBC. Таким образом, SF проходит через середину стороны BC и перпендикулярна к ней, что и требовалось доказать.
