Вопрос школьника
В тупоугольном треугольнике ABC продолжения высот пересекаются в точке О так, что ∠ВОС = ∠ВСО, ∠ВОА = ∠ВАО. Найдите угол ВСА.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точка О является центром описанной окружности треугольника ABC, так как пересечение высот является ортоцентром, а описанная окружность проходит через вершины треугольника и его ортоцентр.
Также заметим, что угол ВОС равен углу ВСО, а угол ВОА равен углу ВАО. Это означает, что треугольник ВОС равнобедренный, так как у него два равных угла при основании. Аналогично, треугольник ВОА также равнобедренный.
Теперь рассмотрим треугольник ВСА. Он является прямоугольным, так как угол В равен 90 градусов (так как треугольник тупоугольный). Также мы знаем, что точка О лежит на описанной окружности треугольника, то есть угол ВОА равен углу ВСА (так как это соответствующие углы при параллельных прямых). Аналогично, угол ВОС также равен углу ВСА (так как это вертикальные углы).
Итак, мы получили, что угол ВСА равен и углу ВОА, и углу ВОС. Но мы уже знаем, что эти углы равны между собой, так как треугольники ВОА и ВОС равнобедренные. Значит, угол ВСА также равен этому углу и равен примерно 67.5 градусов.
