Вопрос школьника
В урне 4 белых, б черных и 5 красных шаров. Из нее извлекают наугад один за другим два шара. Найти вероятность того, что оба шара одного цвета.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нужно разделить ее на две части: вероятность извлечения двух шаров одного цвета и вероятность извлечения двух шаров разного цвета.
1. Вероятность извлечения двух шаров одного цвета:
Сначала нужно выбрать цвет шаров, которые мы будем извлекать. Всего есть три варианта: белый, черный или красный. После этого нужно посчитать вероятность извлечения двух шаров этого цвета. Для этого нужно разделить количество сочетаний двух шаров этого цвета на общее количество сочетаний двух шаров из урны:
— Для белых шаров: количество сочетаний двух белых шаров равно C(4,2) = 6. Общее количество сочетаний двух шаров равно C(13,2) = 78. Таким образом, вероятность извлечения двух белых шаров равна 6/78 = 1/13.
— Для черных шаров: количество сочетаний двух черных шаров равно C(4,2) = 6. Общее количество сочетаний двух шаров равно C(13,2) = 78. Таким образом, вероятность извлечения двух черных шаров равна 6/78 = 1/13.
— Для красных шаров: количество сочетаний двух красных шаров равно C(5,2) = 10. Общее количество сочетаний двух шаров равно C(13,2) = 78. Таким образом, вероятность извлечения двух красных шаров равна 10/78 = 5/39.
Таким образом, вероятность извлечения двух шаров одного цвета равна сумме вероятностей извлечения двух белых шаров, двух черных шаров или двух красных шаров:
1/13 + 1/13 + 5/39 = 8/39.
2. Вероятность извлечения двух шаров разного цвета:
Для этого нужно выбрать два разных цвета из трех возможных и посчитать вероятность извлечения по одному шару каждого цвета. Количество сочетаний двух разных цветов равно C(3,2) = 3. Общее количество сочетаний двух шаров равно C(13,2) = 78. Для каждой пары цветов вероятность извлечения по одному шару каждого цвета равна произведению количества шаров каждого цвета, разделенному на общее количество сочетаний двух шаров:
— Для пары белых и черных шаров: количество сочетаний одного белого и одного черного шара равно 4*4 = 16. Таким образом, вероятность извлечения одного белого и одного черного шара равна 16/78.
— Для пары белых и красных шаров: количество сочетаний одного белого и одного красного шара равно 4*5 = 20. Таким образом, вероятность извлечения одного белого и одного красного шара равна 20/78.
— Для пары черных и красных шаров: количество сочетаний одного черного и одного красного шара равно 4*5 = 20. Таким образом, вероятность извлечения одного черного и одного красного шара равна 20/78.
Таким образом, вероятность извлечения двух шаров разного цвета равна сумме вероятностей извлечения одного белого и одного черного шара, одного белого и одного красного шара или одного черного и одного красного шара:
16/78 + 20/78 + 20/78 = 56/78.
Итак, вероятность извлечения двух шаров одного цвета равна 8/39, а вероятность извлечения двух шаров разного цвета равна 56/78. Следовательно, вероятность того, что оба шара одного цвета, равна:
8/39.
