Вопрос школьника
В урне находятся 25 белых и 5 черных шаров. Из урны наудачу извлекаются 9 шаров. Найти: 1)вероятность того, что все 9 шаров — белые; 2)вероятность того, что среди 9-ти извлеченных шаров 3 черного цвета; 3 вероятность того, что среди 9-ти извлеченных шаров имеется хотя бы один шар черного цвета.
Ответ от учителя
1) Вероятность того, что первый шар будет белым равна 25/30, так как в урне 25 белых и 30 шаров в общем. Вероятность того, что второй шар будет белым равна 24/29, так как после извлечения первого шара в урне осталось 29 шаров, из которых 24 белых. Аналогично, вероятность того, что третий, четвертый и т.д. шары будут белыми равны 23/28, 22/27, 21/26, 20/25, 19/24, 18/23 соответственно. Таким образом, вероятность того, что все 9 шаров будут белыми, равна произведению этих вероятностей:
(25/30) * (24/29) * (23/28) * (22/27) * (21/26) * (20/25) * (19/24) * (18/23) * (17/22) = 0.0118 или около 1.18%.
2) Чтобы найти вероятность того, что среди 9-ти извлеченных шаров будет 3 черных, нужно выбрать 3 черных шара из 5 и 6 белых шаров из 25. Это можно сделать несколькими способами, но проще всего воспользоваться формулой сочетаний:
C(5,3) — число способов выбрать 3 черных шара из 5
C(25,6) — число способов выбрать 6 белых шаров из 25
C(30,9) — число способов выбрать 9 шаров из 30
Тогда вероятность того, что среди 9-ти извлеченных шаров будет 3 черных, равна:
(C(5,3) * C(25,6)) / C(30,9) = (10 * 1771) / 84,780 = 0.208 или около 20.8%.
3) Вероятность того, что среди 9-ти извлеченных шаров не будет ни одного черного, равна вероятности того, что все 9 шаров будут белыми, которую мы уже нашли в пункте 1. Тогда вероятность того, что хотя бы один шар будет черным, равна единице минус вероятность того, что все 9 шаров будут белыми:
1 — 0.0118 = 0.9882 или около 98.82%.
