Вопрос школьника
В вершинах четырёхугольника ABCD расположены центры окружностей. Известно, что любые две окружности с центрами в соседних вершинах касаются друг друга внешним образом. Докажите, что для сторон четырёхугольника выполняется равенство АВ + CD = = ВС+ DA.
Ответ от учителя
Рассмотрим окружности, центры которых расположены в соседних вершинах четырехугольника ABCD. Пусть O1, O2, O3, O4 — центры соответствующих окружностей, а R1, R2, R3, R4 — их радиусы.
Так как окружности касаются друг друга внешним образом, то сумма радиусов соседних окружностей равна расстоянию между их центрами:
R1 + R2 = AB
R2 + R3 = BC
R3 + R4 = CD
R4 + R1 = DA
Сложим все эти равенства и получим:
(R1 + R2) + (R2 + R3) + (R3 + R4) + (R4 + R1) = AB + BC + CD + DA
2(R1 + R2 + R3 + R4) = AB + BC + CD + DA
Так как центры окружностей расположены в вершинах четырехугольника, то каждый из радиусов равен полупериметру треугольника, образованного двумя соседними вершинами и центром окружности. Таким образом, получаем:
2(R1 + R2 + R3 + R4) = (AB + BO1 + BO2) + (BC + BO2 + BO3) + (CD + BO3 + BO4) + (DA + BO4 + BO1)
2(R1 + R2 + R3 + R4) = (AB + BC + CD + DA) + 2(BO1 + BO2 + BO3 + BO4)
Из последнего равенства следует, что:
AB + BC + CD + DA = 2(R1 + R2 + R3 + R4) — 2(BO1 + BO2 + BO3 + BO4)
Так как BO1, BO2, BO3, BO4 — это расстояния от центров окружностей до сторон четырехугольника, то сумма этих расстояний равна полупериметру четырехугольника:
BO1 + BO2 + BO3 + BO4 = (AB + BC + CD + DA) / 2
Подставляем это выражение в предыдущее равенство и получаем:
AB + BC + CD + DA = 2(R1 + R2 + R3 + R4) — (AB + BC + CD + DA)
2(AB + CD) = 2(BC + DA)
AB + CD = BC + DA
Таким образом, мы доказали, что для сторон четырехугольника выполняется равенство АВ + CD = ВС + DA.
