Вопрос школьника
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если Sboc = S1, Saod = S2 и OD=4OB.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения диагоналей О делит диагональ AC в отношении k:1, то есть AO = k*OC и BO = (1-k)*OC. Так как OD = 4OB, то OD = 4(1-k)*OC.
Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Они имеют общую высоту OD и основания AO и BO, соответственно. Поэтому их площади относятся как основания:
S2/S1 = AO/BO = k/(1-k)
Так как S1 + S2 = SABCD, то
SABCD = S1 + S2 + SBCD = S1 + S2 + SBO + SOD
SBO = (1/2)*BO*CD*sin(BOC) = (1/2)*(1-k)*OC*CD*sin(BOC)
SOD = (1/2)*OD*BC*sin(AOD) = 2(1-k)*OC*BC*sin(AOD)
Так как треугольники AOD и BOC подобны, то
sin(AOD)/sin(BOC) = AO/BO = k/(1-k)
sin(AOD) = (k/(1-k))*sin(BOC)
Подставляем в формулы для SBO и SOD:
SBO = (1/2)*(1-k)*OC*CD*sin(BOC)
SOD = 2(1-k)*OC*BC*(k/(1-k))*sin(BOC) = 2k(1-k)*OC*BC*sin(AOD)
SABCD = S1 + S2 + SBO + SOD = S1 + S2 + (1/2)*(1-k)*OC*CD*sin(BOC) + 2k(1-k)*OC*BC*sin(AOD)
Подставляем выражение для S2/S1:
SABCD = S1*(1 + k/(1-k)) + (1/2)*(1-k)*OC*CD*sin(BOC) + 2k(1-k)*OC*BC*sin(AOD)
SABCD = S1*(2/(1-k)) + (1/2)*(1-k)*OC*CD*sin(BOC) + 4k(1-k)*OC*BC*sin(AOD)
Таким образом, площадь четырехугольника ABCD зависит от отношения k и может быть выражена через S1, OC, CD, BC и sin(BOC) и sin(AOD).
